Banachův-Tarského paradox

Ahoj, tady Michael z Vsauce. Viděl jsem způsob, jak zdánlivě
vytvořit čokoládu z ničeho. Možná jste to už viděli. Tahle tabulka čokolády
má 4×8 čtverečků. Když ji ale rozříznete
tímto způsobem, můžete vzniklé kousky
takhle uspořádat a dostanete tu stejnou
tabulku 4×8 čtverečků s jedním kouskem navíc, který zdánlivě nikde nechybí.

Někdo z této iluze
dokonce vytvořil animaci. Říkám iluze, protože je to jen podvod. Ve skutečnosti je tabulka sestavená
z nařezaných kousků o něco menší. Je v ní o tolik čokolády méně. Všechny čtverečky, kterými
probíhá řez, jsou o něco menší. Kvůli tomu řezu to ale
není na první pohled vidět. Tato animace je
ještě více zavádějící, protože se tenhle klam
snaží zamaskovat.

Každý zkrácený čtvereček je totiž
nepozorovaně prodloužen, když se kousky přesunují, aby bylo složitější
si toho všimnout. No tak, přeci nemůžete
nařezat tabulku čokolády a uspořádat ji tak, aby vám zůstalo
víc čokolády než na začátku. Nebo snad ano? Jednou z nejpodivnějších vět v moderní
matematice je Banachův-Tarského paradox.

Dokazuje, že existuje
způsob, jak daný předmět rozdělit na pět různých kousků... ...a pak těchto pět kousků
jednoduše poskládat bez jakéhokoliv roztahování, do dvou přesných
kopií původního předmětu se stejnou hustotou, stejnými
rozměry a vším ostatním. Opravdu. Než si o tom povíme něco víc a zjistíme, jaké otázky to přináší
do matematiky i skutečného světa, musíme začít tím,
že si položíme několik otázek.

Za prvé: Co je nekonečno? Číslo? Nenajdeme ho totiž
nikde na číselné ose. Často ale říkáme například: "Máme nekonečný počet něčeho..." Nekonečno by podle současných
znalostí skutečně mohlo existovat.

Vesmír je možná nekonečně veliký. Neustále se rozpíná do nekonečna. Až za hranici, za kterou
nejsme schopni dohlédnout. A přesně tohle je nekonečno. Není to žádné konkrétní číslo,
je to spíše velikost. Velikost něčeho, co nekončí. Nekonečno není největší číslo. Je to počet všech možných čísel.

Nekonečno ale může
mít různou velikost. Nejmenším typem nekonečna
je spočetné nekonečno. Například kolik hodin trvá věčnost. Je to také počet
všech celých čísel, přirozených čísel, čísel,
která používáme při počítání, jako je jedna, dvě, tři,
čtyři, pět, šest a tak dále. Tyto počty nikde nekončí, jsou ale spočetné.

To znamená, že je můžete počítat. Dostanete se od jedné položky
k další v konečném časovém úseku. I kdyby tento časový úsek
trval déle než váš život, nebo i déle než trvá
existence vesmíru. Jen když je tato doba konečná. Nespočetné nekonečno je ale větší. Tak velké, že se nedá ani počítat. Například počet
všech reálných čísel, nejen celých čísel,
ale všech čísel, je nespočetně nekonečný.

Nedokážete napočítat
ani od nuly do jedné za konečný časový úsek, pokud máte vyjmenovat všechna
čísla, která se mezi nimi nachází. Kde byste vůbec začali? Nulou. Dobře, ale co pak?

0,00000000... Nakonec bychom napsali
jedničku někam na konec. Žádný konec ale není. Vždycky můžeme
přidat ještě jednu nulu. Tato nespočetnost dělá
tuto množinu mnohem větší, než je nekonečno celých čísel. I mezi nulou
a jedničkou je víc čísel, než je všech celých čísel
na celé nekonečné číselné ose.

Známý argument s úhlopříčkami
Georga Cantora to pomáhá objasnit. Představte si, že vypíšete všechna
reálná čísla mezi nulou a jedničkou. Protože nejsou spočetná
a nelze je zapsat ve správném pořadí, budeme je náhodně generovat
do nekonečna bez opakování stejných čísel. Každé takto vygenerované číslo může
být označeno jedním přirozeným číslem. Pokud k sobě přiřadíme
všechny dvojice, každé možné přirozené číslo
patří k jednomu vygenerovanému, pak by to znamenalo, že spočetné
a nespočetné množiny jsou stejně velké.

Ale tak to nejde. I když tenhle seznam bude
pokračovat do nekonečna, nekonečno nebude stačit. Sledujte tohle. Když půjdeme šikmo dolů
naším seznamem reálných čísel a zapíšeme si první
číslici prvního čísla, druhou číslici druhého čísla, třetí číslici třetího a tak dále a každou tuto číslici
zvětšíme o jedna, pokud je to devítka,
tak jedničku odečteme, Vytvoříme tak nové reálné číslo, které je mezi nulou a jedničkou, ale jelikož se liší alespoň v jednom řádu
ode všech čísel na nekonečném seznamu, nemůže být součástí
tohoto seznamu.

Jinými slovy, využili jsme všechna
přirozená čísla, kterých je nekonečno, a přesto můžeme najít
ještě další reálná čísla.

Ještě je tu něco pravdivého,
ale těžko představitelného. Samotná množina všech
sudých čísel je stejně velká jako množiny sudých
i lichých čísel dohromady. Na první pohled je to směšné. Je přece zřejmé, že sudých čísel je
o polovinu méně než všech přirozených čísel. Vaše intuice je ale špatná. Množina přirozených
čísel se zdá nahuštěnější, ale každé sudé číslo lze
přiřadit k jednomu přirozenému.

Čísla z obou množin
vám nikdy nedojdou, takže toto přiřazení dokazuje, že obě množiny jsou stejně velké. Jinak řečeno:
Nekonečno děleno dvěma je stále nekonečno. Nekonečno plus jedna
je také nekonečno. Můžeme si to ukázat na Hilbertově
paradoxu grandhotelu. Představte si hotel s spočetně
nekonečným množstvím pokojů.

Teď si představte, že každý
z těchto pokojů je již obsazený. Vypadá to, že hotel je
úplně plný, že ano? Ne. Na nekonečné množiny
selský rozum neplatí. Když se totiž objeví
nový host a chce se ubytovat, vyřeší se to tak, že host z pokoje číslo
jedna se přesune do pokoje číslo dvě. Host z pokoje dvě do pokoje tři
a host ze trojky do čtyřky a tak dále. Protože je počet
pokojů nekonečný, nikdy nám nemůžou pokoje dojít.

Nekonečno mínus jedna
je opět nekonečno. Když jeden host opustí hotel, můžeme ostatní hosty
posunout naopak. Host ze dvojky jde na jedničku, ze trojky na dvojku,
ze čtyřky na trojku a tak dále. Protože máme nekonečné
množství hostů, neomezený přísun, žádný pokoj nezůstane prázdný.

Jak se ukazuje, můžete od nekonečna
odečíst jakkoli velké konečné číslo a pořád vám zůstane nekonečno. Vůbec se nemění. Je nekonečné. Na Banacha-Tarského
jsem nezapomněl. Všechno to s tím souvisí. Můžeme se teď zaměřit na tvary.

Hilbertův hotel můžeme
aplikovat na kružnici. Body ležící na této kružnici
můžeme přirovnat k hostům. Když z kružnice
jeden bod odstraníme, tak tam ten bod
bude chybět, že ano? Nekonečno nám říká,
že na tom nezáleží. Obvod kruhu je iracionální. Můžeme ho spočítat
jako poloměr krát 2 pí. Když si od místa odstraněného bodu
označíme několik bodů ve vzdálenosti poloměru kružnice
po obvodu ve směru hodinových ručiček, nikdy se nedostaneme
do stejného bodu dvakrát.

Nikdy. Každý bod, který si odměříme
označíme přirozeným číslem. Tahle řada je tedy nekonečná, spočetně nekonečná. Stejně jako hosté
v pokojích Hilbertova hotelu. A stejně jako tito hosté i když jeden zmizí, můžeme všechny ostatní
jednoduše posunout.

Posuneme je proti směru
hodinových ručiček a každý bod bude opět zaplněný. Bod jedna zaplní díru, bod dva bude tam,
kde býval bod jedna, trojka nahradí dvojku a tak dále. Jelikož máme nekonečný přísun bodů, Žádná díra nezůstane nevyplněná.

Chybějící bod je zapomenut. Nikdy jsme ho nepotřebovali,
abychom měli celou kružnici. Ještě je tu jeden důsledek nekonečnosti,
o kterém bychom si měli říct, než se konečně vrhneme
na Banacha-Tarského. Ian Steward navrhnul
úžasný slovník. Pojmenoval ho Hyperwebster. Hyperwebster obsahuje všechna
možná slova jakkoli dlouhá, tvořená 26 písmeny
anglické abecedy.

Začíná slovem A. Následuje AA, pak AAA a AAAA a po nekonečně dlouhé
řadě konečně přijde AB. Pak ABA, ABAA, ABAAA
a tak dále až do Z, ZA, ZAA. Tak to pokračuje dál a dál, dokud to
neskončí na nekonečné řadě písmen Z.

Takový slovník by obsahoval
všechna existující slova, každou myšlenku, definici, popis,
pravdu, lež, všechna jména a příběhy. Dalo by se v tom slovníku najít,
co se stalo Amélii Earhart. A také by tam bylo všechno,
co se Amélii Earhart nestalo. Obsahoval by všechno, co může být
vyjádřeno naší abecedou. Takový slovník by byl obrovský. Vydavatelství, které by ho vydávalo,
by si ale mohlo uvědomit, že můžou ušetřit. Kdyby dali všechna slova začínající na A
do samostatného dílu, označeného A.

Nemuseli by první písmeno tisknout. Čtenáři by věděli, že si ho mají
domyslet, protože mají v ruce díl A. Když odstraníme první písmeno, zůstanou
nám všechna slova na A bez prvního A, což jsou překvapivě
všechna možná slova. Celých 26 dílů bylo zkráceno na jediný díl,
aniž by se vytratilo jediné slovo. Teď už můžeme začít mluvit o paradoxu,
po kterém jsem toto video pojmenoval. Co kdybychom
z trojrozměrného tělesa udělali takový Hyperwebster.

Mohli bychom z části tělesa
dovytvořit celé těleso? Ano. Nejprve musíme dát každému bodu
na povrchu koule právě jedno jméno. Lze to provést tak,
že je pojmenujeme podle toho, jak se k nim dostaneme
z počátečního bodu. Pokud posuneme tento počáteční bod
po povrchu v jednotlivých krocích, které mají přesně danou délku, nezáleží kolikrát a ve kterém
směru se budeme otáčet, pokud se nebudeme vracet, nikdy se nedostaneme
do stejného místa dvakrát.

Aby se objevil paradox, stačí se
otáčet do čtyř různých směrů. Nahoru, dolů, vlevo a vpravo podle dvou kolmých os. Můžeme sestavit všechny možné
postupy jakkoliv konečně dlouhé jen z těchto čtyř rotací. To znamená, že potřebujeme
vlevo, vpravo, nahoru a dolů, a také vlevo-vlevo,
vlevo-nahoru, vlevo-dolu, ale ne vlevo-vpravo,
protože bychom se tím vraceli zpět.

Když půjdete vlevo a pak hned vpravo,
budete tam, kde jste byli předtím. Žádné vlevo-vpravo, vpravo-vlevo
a žádné nahoru-dolu a dolu-nahoru. Všimněte si také, že postup rotací
zapisuji ve směru zprava doleva, takže poslední rotace je označená
písmenem nejvíce vlevo. To bude později důležité. Seznam všech možných posloupností
všech povolených rotací konečné délky bude obrovský.

Přesněji řečeno
spočetně nekonečný. Když ale použijeme všechny
od počátečního bodu, vyznačeného zeleně, a pak pojmenujeme bod, na kterém skončíme
po posloupnosti, která nás na něj přivedla, můžeme pojmenovat spočetně nekonečný
počet bodů na povrchu této koule. Podívejme se například, jak by fungovaly
tyto čtyři posloupnosti na seznamu. Vpravo-nahoru-vlevo. Tyto rotace nás
z počátečního bodu dovedou sem.

Pojďme si označit každý bod
různou barvou podle poslední rotace. V tomto případě byla poslední
vlevo, tak použijeme fialovou. Dál tu máme dolů-dolů. Podle této posloupnosti
se dostaneme sem. Tento bod pojmenujeme DD a označíme ho modře, protože
poslední rotace byla směrem dolů. RDR bude jméno tohoto bodu, na který jsme se dostali.

Pro poslední rotaci směrem
vpravo použijeme červenou. Nakonec posloupnost
zakončená směrem nahoru bude mít bod oranžové barvy. Když si představíte, že tento postup
uděláme s každou možnou posloupností, budeme mít spočetně nekonečný počet
pojmenovaných a barevně označených bodů. To je sice skvělé,
ale nám to ještě nestačí. Na povrchu koule je totiž
nespočetně nekonečné množství bodů. Nepropadejte panice,
vybereme bod, který ještě nemáme, jakýkoliv bod
a označíme ho zeleně, čímž z něj uděláme
nový počáteční bod.

Pak znovu projedeme všechny
posloupnosti od tohoto nového bodu. Až toto uděláme u nespočetně
nekonečného množství počátečních bodů, budeme mít konečně
pojmenovaný a barevně vyznačený každý bod na povrchu
naší koule právě jednou. Kromě pólů. Každá posloupnost
má dva póly rotace.

Body na povrchu, které se vrací
přesně tam, kde začaly. Pro jakoukoliv posloupnost
rotací vpravo nebo vlevo, jsou těmito póly
severní a jižní pól. Problém s těmito póly je ten, že k nim může vést
více než jedna posloupnost. Můžou být pojmenovány
víckrát než jednou. Můžou být označeny
více než jednou barvou. Když vás například dovede na severní
nebo jižní pól nějaká posloupnost, každá další rotace
vpravo nebo vlevo bude označovat
tento bod různými jmény.

Abychom to vyřešili, vyřadíme je z našeho
seznamu a označíme je všechny žlutě. Každá posloupnost má dva, takže jich je spočetně
nekonečné množství. Když má teď každý bod
na povrchu právě jedno jméno a barvu, můžeme si tuto kouli
konečně rozebrat. Každý bod na povrchu odpovídá
všem bodům pod ním až do středu koule a budeme každou tuto úsečku
přemisťovat s jejím odpovídajícím bodem.

Bod přímo uprostřed koule
si zatím odložíme mimo. Nejdříve oddělíme
všechny žluté póly, zelené počáteční body, oranžové "nahoru" body, modré "dolů" body a červené a fialové
"vlevo" a "vpravo" body. To je celá naše koule.

Opětovným spojením těchto částí
ji můžete znovu poskládat. Podívejte se ale na "vlevo" část. Je tvořena každým bodem, který byl na posloupnostech
zakončených rotací vlevo. Když tuto část
otočíme jednou vpravo, je to jako bychom přidali "vpravo"
ke jménu každého bodu. Jenže vlevo-vpravo
nás vrátí zpátky. Vzájemně se vyruší.

Podívejte se, co se stane,
když je tedy odstraníme. Tato množina se stane množinou, která končí "vlevo", ale také "nahoru", "dolů" a každým bodem
dosažitelným bez jakékoliv rotace. To je celá množina
počátečních bodů. Udělali jsme necelé tři čtvrtiny koule
z kousku menšího než čtvrtina pouhou rotací. Nic jsme nepřidali. Je to jako Hyperwebster.

Když přidáme ještě část "vpravo",
část s póly rotací a středový bod, dostaneme znovu celou kouli. Ale ještě nám toho spoustu zbylo. Abychom si vyrobili druhou kouli,
otočíme část "nahoru" směrem dolů. Nahoru-dolů se vyruší,
protože to nikam nevede, a zůstane nám množina
všech počátečních bodů, bodů "nahoru",
"vpravo" a "vlevo". Máme ale menší problém.

My ty počáteční body
vůbec nepotřebujeme. Stále jsme totiž
nepoužili ty původní. Nebojte, začneme znovu. Můžeme dát stranou
všechno z části "nahoru" co se mění na počáteční
body při rotaci dolů. To znamená každý bod,
který končil rotací nahoru. Přesuňme je do části "dolů". Po rotaci všechny body pojmenované
"nahoru-nahoru" se změní na body "nahoru".

To nám dá jednu kopii v obou částech. Musíme tedy přesunout všechny body, jejichž
název je jen posloupnost rotací nahoru. Přemístíme je do části "dolů"
a otočíme část "nahoru" směrem dolů, což ji učiní shodnou
s částmi "nahoru", "vpravo" a "vlevo". Přidáme část "dolů" s přidanými
body zakončenými "nahoru", část počátečních bodů
a máme skoro hotovo. V této kopii chybí
póly a středový bod. To ale není problém.

Je tam spočetně
nekonečný počet děr, kde měly být póly rotací, což znamená, že existuje osa,
kolem které můžeme kouli otočit, aby se každá díra otočila,
aniž by zapadla do jiné díry. A to je přeci jen mnoho kružnic,
ve kterých chybí jeden bod. Zaplníme je tak,
jak jsme si dříve ukazovali. To stejné uděláme
se středovým bodem. Představte si kružnici uvnitř koule,
na které tento bod leží a doplňte ho z nekonečna.

Podívejte, co jsme dokázali. Vzali jsme si jednu kouli a udělali z ní dvě stejné koule, aniž bychom cokoliv přidali. Jedna plus jedna se rovná jedna. To nám trochu trvalo,
ale má to spoustu využití a matematikové, vědci
a filosofové o nich stále diskutují.

Mohlo by se něco takového
stát ve skutečném světě? Matematicky to možné je a matematika nám
umožňuje předpovídat a popisovat spoustu skutečných
jevů s úžasnou přesností. Ale není Banachův-Tarského
paradox už trochu moc? Není to místo, kde se
matematika a fyzika oddělují? To zatím nevíme. Dějiny jsou plné abstraktních
matematických představ, o kterých jsme si mysleli,
že nebudou mít uplatnění ve skutečnosti.

Trvalo nám roky,
desetiletí, staletí, než věda dospěla a uvědomila si,
že jsou velmi užitečné. Banachův-Tarského paradox se
ve skutečnosti opravdu může dít. Jediným problémem je, že těch
pět částí, na které se předmět rozdělí, nejsou jednoduché tvary. Musí být nekonečně
složité a detailní. To ve skutečnosti není možné.

Vzdálenosti se nemůžou
zmenšovat do nekonečna. Navíc je omezený i čas
něco takového provést. Matematika ale říká,
že to teoreticky platí, a někteří vědci si myslí,
že to možná platí i ve fyzice. Objevilo se několik prací, které naznačují
souvislost mezi Banachem-Tarským a způsobem, jakým se malé
subatomární částice můžou srážet
při vysokých rychlostech a tvořit více částic,
než bylo na začátku.

My jsme konečná stvoření. Naše životy jsou krátké a můžou vědecky popsat
jen malou část reality. Co nám připadá běžné, je jen
zlomek toho všeho, co existuje. Vidíme jen malou část
elektromagnetického spektra, můžeme se dostat
jen malý kousek do vesmíru. Selský rozum se vztahuje jen
na to, co je pro nás dostupné. Tento prostý rozum je
ale prostě jen prostý.

Jestli chceme mít
kompletní vědění, nemůžeme nekonečno
považovat za něco podivného. Výsledky, ke kterým dojdeme,
když si to připustíme, mají smysl. Jsou pravdivé v systému, který používáme
k porozumění, měření a předpovědi vesmíru. Možná je třeba
tento systém zdokonalit. Historie nám ale ukazuje,
že vesmír tak divný není. Divní jsme jen my. A jako vždycky...

Díky za sledování. V popisu najdete spoustu odkazů,
ze kterých se můžete dozvědět ještě víc. Taky je tam spousta knih, které mi pomohly
pochopit Banacha-Tarského. Především "The Pea and the Sun"
od Leonarda Wapnera. Je to skvělá kniha plná kroků, díky kterým pochopíte
pozdější důkazy. Také tam píše o důsledcích, které může Banach-Tarski
mít pro matematiku.

Jestli si chcete přečíst
něco o matematice, byla-li objevena,
nebo vynalezena. Jestli nám opravdu
pomůže pochopit vesmír, Yanofského kniha "The outer
limits of reason" je vážně skvělá. Je to nejlepší kniha,
kterou jsem tento rok četl. Další dobrá je
od E. Briana Daviese. "Why Beliefs Mater" To je oblíbená kniha Corn, jak asi můžete vidět.

Chutná skvěle a je plná zajímavých
informací o hranicích našeho poznání, o tom, co je to věda
a co matematika. Jesli máte rádi
nekonečno a matematiku, musím vám doporučit
knihu M. Parkera "Things to make and do
in the fourth dimension" Vysvětluje ti spoustu úžasných věcí.

Tak můžete začít číst. Jestli byste si radši
pustili nějaké video, doufám, že jste už viděli film
Kevina Liebera na kanálu Field day. Já tam má svůj dokument
o Whittieru na Aljašce, Kevin udělal krátký film
o nahrávání věcí na internet a reakcích ostatních lidí. Povídá se, že Jake Roper
bude taky brzy něco natáčet. Pusťte si můj film,
pusťte si i Kevinův a odebírejte Field day,
abyste nepropásli Jakeův film.

Je tady teď se mnou. - Pozdrav, Jakeu!
- Ahoj. Díky, že to natáčíš. Vážně si vás cením. A jako vždycky... Díky za sledování. Překlad: Zarwan
www.videacesky.cz