Jak napočítat za nekonečnoVsauce

Ahoj, tady Michael z Vsauce. Jaké největší číslo si dokážete představit? Googol? Googolplex? Milinilion? –plex? Ve skutečnosti je největší číslo 40. Rozprostírající se na ploše více než 12 000 metrů čtvrečních je tahle čtyřicítka vytvořená ze strategicky zasazených stromů v Rusku větší než čísla na Signal Hill v Calgary, větší než šestka nacházející se na Fovant badges v Anglii a dokonce větší než míle pí, kterou rozvinul Brady na Numberphile.

40 je největší číslo. Na Zemi – dle plochy, kterou zabírá. Ale co se týče množství – to obvykle máme na mysli, když mluvíme o velkém čísle, 40 pravděpodobně nebude největší.

Existuje například 41. A pak 42. A 43. Miliarda, bilion. Ať už si představíte jakkoliv velké číslo, můžete si vždy představit větší. Takže neexistuje žádné poslední největší číslo. Kromě nekonečna? Ne.

Nekonečno není číslo. Je to druh čísla. Potřebujete nekonečno čísel, abyste mohli diskutovat o množstvích, co nekončí, a porovnávat je. Ale některá nekončící množství, některá nekonečna jsou doslova větší než jiná. Pojďme se na některá z nich podívat a napočítat za ně. Ujasněme si pár věcí. Pokud číslo udává počet věcí, říkáme mu kardinální číslo. Například 4 banány.

12 vlajek. 20 teček. 20 je mohutnost této množiny teček. Pokud dvě množiny obsahují stejný počet věcí, mají stejnou mohutnost. Můžeme to dokázat spárováním všech členů jedné množiny se všemi členy druhé množiny v poměru 1:1. Stejná mohutnost, je to jednoduché. Používáme přirozená čísla, to jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5 a tak dále jako kardinální čísla, kdykoliv mluvíme o počtu věcí.

Ale kolik existuje přirozených čísel? Nemůže to být žádné číslo v přirozených, protože by šla vždy přičíst jednička. Namísto toho pro tohle množství existuje jedinečné číslo – alef 0. Alef je první písmeno hebrejské abecedy a alef 0 je první nejmenší nekonečno. Udává, kolik přirozených čísel existuje. Udává také, kolik sudých čísel existuje, kolik lichých čísel existuje a také kolik racionálních čísel, tedy kolik zlomků existuje.

Někoho to může překvapit, jelikož jsou zlomky na číselné ose početnější. Ale jak Cantor dokázal, existuje způsob, jakým všechna racionální čísla uspořádat tak, aby si s přirozenými odpovídala v poměru 1:1. Mají stejnou mohutnost. Jde o to, že alef 0 značí velké množství. Větší než jakékoliv konečné množství. Googol?

Googolplex? Faktoriál googolplexu na googolplex na googoplex na druhou krát Grahamovo číslo? Alef 0 je větší. Ale můžeme napočítat za něj. Jak? Použijme k tomu našeho starého přítele super úkony. Pokud nakreslíme několik čar a každou další nakreslíme o zlomek kratší a o zlomek blíže k té předešlé, můžeme jich nakreslit nekonečně mnoho do konečného prostoru. Počet čar zde odpovídá počtu existujících přirozených čísel.

Můžeme je k sobě přiřadit v poměru 1:1. Vždy existuje další přirozené číslo, ale zároveň vždy existuje další čára. Obě množiny mají mohutnost alef 0. Ale co se stane, když udělám tohle? Teď je těch čar kolik? Alef 0 plus jedna? Ne. Nekonečná množství se nechovají jako konečná. Pořád je zde jen alef 0 čar, protože k nim můžu přiřadit přirozená čísla v poměru 1:1 stejně jako předtím.

Prostě začnu tady a budu pokračovat od začátku. Počet čar se očividně nezměnil. Můžu dokonce přidat další dvě čáry, tři, čtyři, vždycky mi vyjde alef 0 věcí. Můžu dokonce přidat další nekonečno alef 0 čar, a množství se stále nezmění. Každé sudé číslo mohu přiřadit k těmto a každé liché k těmto. Stále existuje pro každé přirozené číslo jedna čára.

Že tyhle čáry nepřidají k cekovému počtu, se dá dokázat dalším zajímavým způsobem. Můžete vytvořit stejnou sekvenci, aniž byste nakreslili nové čáry. Prostě vezměte jakoukoliv další čáru a posuňte je všechny na konec. Je to to samé. Ale počkejte chvíli. Toto a toto možná obsahuje stejný počet věcí, ale očividně je někde rozdíl, že ano? Jestli ne v tom, kolik věcí to obsahuje, tak v čem?

Mějme opět jen jednu čáru po souboru o velikosti alef 0. Co kdybychom namísto přiřazení čar k přirozeným číslům v poměru 1:1 trvali na jejich očíslování podle toho, v jakém pořadí jsme je nakreslili? Musíme začít tady a číslovat zleva doprava. Jaké číslo potom bude mít tahle čára? V říši nekonečen je rozdíl, jestli věci počítáme nebo je označujeme podle pořadí. Tahle čára se nepodílí na celkovém počtu, ale abychom ji označili podle pořadí, ve kterém se objevila, potřebujeme označení čísel pro množinu, která přesahuje přirozená čísla.

Potřebujeme ordinální čísla. První transkonečné ordinální číslo je omega. Malé řecké písmeno omega. Není to vtip nebo trik, je to doslova další označení, které potřebujete, když vám dojde nekonečný soubor počitatelných čísel. Pokud byste se v závodu umístili na pozici omega, znamenalo by to, že nekonečný počet lidí dokončil závod, a potom jste ho dokončili vy.

Po omega následuje omega + 1, což moc nevypadá jako číslo, ale je stejně jako 2 nebo 12 nebo 800. Potom následuje omega + 2, omega + 3. Ordinální čísla označují čísla popořadě. Ordinální čísla neudávají počet věcí, místo toho nám sdělují, jakým způsobem jsou uspořádané, sdělují nám typ uspořádání. Typ uspořádání množiny je první ordinální číslo, které nepotřebujeme k pořadovému označení všeho v množině.

Pro konečná čísla jsou mohutnost a typ uspořádání stejné. Typ uspořádání všech přirozených čísel je omega. Typ uspořádání téhle sekvence je omega + 1. A teď omega + 2. Bez ohledu na to, jakou velikost seřazení nabude, dokud je řádně uspořádané, dokud každá jeho část obsahuje začátek, toto celé popisuje nové ordinální číslo.

Vždy. Tohle bude později velice důležité. Měli bychom teď zmínit, že pokud někdy budete hrát hru "kdo přijde s největším číslem" a budete chtít říct například omega + 1, měli byste si dát pozor. Váš protivník možná bude požadovat, aby čísla byla kardinální, která odkazují na množství. Tahle čísla odkazují na stejné množství věcí, jen jinak uspořádané. Omega + 1 není větší než omega, jen je další v řadě.

Ale alef 0 to nekončí. Proč? Protože můžeme dokázat, že existují nekonečna větší než alef 0, která doslova obsahují více věcí. Na to je Cantorův diagonální argument jedním z nejlepších způsobů. V mé epizodě o Banachově–Tarskiho paradoxu jsem dokázal, že počet reálných čísel je větší než počet přirozených čísel. Ale pro účely tohoto videa se soustřeďme na jinou věc – větší než alef 0 – potenční množinu alef 0.

Potenční množina množiny je množina všech rozdílných podmnožin, které z ní můžete vytvořit. Například z množiny jedna a dva mohu vytvořit množinu ničeho nebo jedna nebo dva nebo jedna a dva. Potenční množina jedna, dva a tři je prázdná množina, jedna a dva a tři a jedna a dva a jedna a tři a dva a tři a jedna, dva, tři.

Jak můžete vidět, potenční množina obsahuje mnohem více členů než původní množina. Abychom byli přesní, je to dva umocněno na takové číslo, kolik má původní množina členů.

Takže jaká je potenční množina všech přirozených čísel? Nuže, uvidíme. Představte si seznam všech přirozených čísel. Výborně. Podmnožina obsahující například všechna sudá čísla by vypadala takto. Ano, ne, ano, ne, ano, ne a tak dále. Podmnožina obsahující všechna lichá čísla by vypadala takto. Tady je podmnožina obsahující jen 3, 7 a 12.

A co takhle každé číslo kromě 5? Nebo žádné číslo kromě 5. Je zřejmé, že tento seznam podmnožin bude nekonečný. Ale představte si, že každou z nich přiřadíme k přirozenému číslu v poměru 1:1. Pokud by i poté byl způsob, jakým bychom mohli tvořit nové podmnožiny, které se zde nikde nevyskytují, věděli bychom, že máme množinu, která má více členů, než kolik existuje přirozených čísel. Větší nekonečno než alef 0.

Uděláme to tak, že začneme tady nahoře v první podmnožině a budeme dělat přesný opak toho, co vidíme. Nula je členem této, takže naše nová množina ji obsahovat nebude. Dále se posuňte diagonálně k přítomnosti jedničky v druhé podmnožině. Jednička je jejím členem, takže v té nové nebude. Dvojka není ve třetí podmnožině, takže v té naší bude a tak dále. Jak můžete vidět, popisujeme podmnožinu, která bude alespoň v jedné věci odlišná od každé jiné podmnožiny na tomto seznamu o velikosti alef 0.

I kdybychom tuhle novou podmnožinu vložili zpět, stále bychom mohli provést diagonalizaci. Potenční množina přirozených čísel bude vždy odporovat přiřazení v poměru 1:1 k přirozeným číslům. Je to nekonečno větší než alef 0. Opakovaná použití potenční množiny bude vytvářet množiny, které nebude možno přiřadit k těm předešlým v poměru 1:1.

Takže je to šikovný způsob, jak vytvářet větší a větší nekonečna. Jde o to, že po alef 0 existuje více kardinálních čísel. Pokusme se k nim dostat. Vzpomeňte si, že po omega se ordinální čísla rozdělují a že tahle čísla už nejsou kardinální. Nepředstavují větší množství než poslední dosažené kardinální číslo, ale možná že nás k nim můžou zavést. Počkejte.

Co to děláme? Alef 0? Omega? No tak, používali jsme tahle čísla, jako by se nechumelilo. Ale pokud někde tady můžete vždycky přidat jedničku – vždycky – můžeme vůbec mluvit o tomhle nekonečném procesu jako o celku a pak za něj něco přidat? Samozřejmě že můžeme.

Tohle je matematika, ne věda. Věci, které v matematice pokládáme za pravdivé, se nazývají axiomy. U axiomu, který vymyslíme, není větší pravděpodobnost, že bude pravdivý ani že lépe vysvětluje nebo přepdovídá námi vypozorované věci. Namísto toho je pravdivý, protože jsme to řekli. Jeho následky se stanou tím, co vypozorujeme. Nejde nám o to, aby naše teorie pasovaly do skutečného světa, jehož chování a fundamentální zákony by byly stejné, ať už existujeme, či nikoliv.

Tenhle vesmír vytváříme my sami. Pokud by nás axiomy, jenž prohlásíme za pravdivé, přivedly k věcem, co si odporují, nebo k paradoxům, můžeme se vrátit a poupravit je a nebo od nich úplně upustit. Nebo můžeme odmítnout dělat věci, jež paradoxy způsobují. To stačí. Fascinující však je, že když se ujišťujeme, aby námi vytvořené axiomy nevedly k problémům, děláme, jak se říká, z matematiky něco, co je nesmírně efektivní v přírodních vědách.

Takže kdy to vymýšlíme a kdy objevujeme? Těžko říct. Abychom dostali omegu, stačí nám pouze říct: "Budiž omega." A bude tak učiněno. Tohle udělal Ernest Zermelo v roce 1908, když do svého seznamu axiomů pro vykonávání matematických věcí zahrnul axiom nekonečna.

Axiom nekonečna je prostě prohlášení, že jedna nekonečná množina existuje. Množina všech přirozených čísel. Pokud s tím odmítáte souhlasit, je to v pořádku, dělá to z vás finitistu – někoho, kdo věří pouze v existenci konečných věcí. Ale když to jako většina matematiků přijmete, můžete dojít celkem daleko. Po těchto a skrze tyto se časem dostaneme k omega + omega. Jenže jsme narazili na dalšímu strop.

Vydat se k omega + omega by vytvořilo další nekonečnou množinu. Axiom nekonečna garantuje pouze existenci této. Budeme muset přidat nový axiom pokaždé, co popíšeme dalších alef 0 čísel? Ne. Tady nám pomůže axiom nahrazování. Tenhle předpoklad uvádí, že pokud vezmete množinu, třeba množinu všech přirozených čísel a nahradíte všechny prvky něčím jiným – například banány – zbude vám stejně množina. Zní to jednoduše, ale je to neskutečně užitečné.

Vyzkoušejte tohle. Vezměte všechna ordinální čísla až po omega a pak před každé místo banánů dejte omega +. Dostali jsme se k omega + omega, neboli omega × 2. Pokud budeme používat čísla, kterých už jsem dosáhli, můžeme nahrazováním přeskočit libovolné vzdálenosti. Až po omega můžeme za každé ordinální číslo dosadit omega vynásobenou sebou samou a dosáhneme tím omega krát omega – omega na druhou.

Tady už přituhuje. Axiom nahrazování nám dovoluje vytvářet nová ordinální čísla bez ustání. Případně se dostaneme k omega na omega na omega na omega, a dojde nám standardní matematická notace. To nevadí. Říká se tomu epsilon 0. A od něj pokračujeme dále. Ale teď si představte všechna tahle ordinální čísla. Všechny ty rozdílné způsoby, jakými můžeme uspořádat alef 0 věci.

Jsou řádně uspořádané, takže mají typ uspořádání. Mají za sebou nějaké ordinální číslo. Tentokrát se mu říká omega 1. Jelikož podle definice omega 1 následuje všechny typy uspořádání alef 0 věcí, musí popisovat uspořádání více věcí než předchozí alef. Kdyby tomu tak nebylo, byla by někde tady. Ale tam není. Kardinální číslo popisující počet věcí použitých k uspořádání typu omega 1 se nazývá alef 1.

Neví se, kam na tuhle čáru připadá potenční množina přirozených čísel. Nemůže to být mezi těmito kardinálními čísly, protože mezi nimi se kardinální čísla nenacházejí. Mohla by být rovna alef 1, tomuto přesvědčení se říká hypotéza kontinua. Ale mohla by být větší, to prostě nevíme. Hypotéza kontinua je mimochodem asi největší nezodpovězená otázka tohoto tématu.

A dnes v tomto videu ji řešit nebudu, ale vydáme se výše a výše k větším a větším nekonečnům. Za použití axiomu nahrazování můžeme vzít jakékoliv ordinální číslo, kterého jsme již dosáhli, například omega, a přeskočit od alef k alef až k alef omega. Proč rovnou nepoužít větší ordinální číslo, třeba omega na druhou, abychom vytvořili alef omega na druhou. Alef omega omega omega omega omega.

Naše notace mi zde dovoluje přidat jen počítatelně mnoho omega. Ale při nahrazování je jedno, jestli jsem schopen napsat čísla, kterých dosahuje. Ať už se dostanu kamkoliv, budou tam ještě větší čísla, která mi dovolí udělat ještě větší a početnější skoky než předtím. Celé je to divoce zrychlující zvětšující se smyčka zpětné vazby. Takto můžeme pokračovat a odspodu tak dosáhnout větších a větších nekonečen. Nahrazováním a opakovaným používáním potenčních množin, které se mohou a nemusí seřadit s alefy, můžeme stoupat donekonečna.

Takže za nimi očividně nic není, že jo? Ne tak rychle. Tohle jsme řekli o překonání konečných čísel po omega. Proč jako axiom nepřijmout, že existuje nějaké další číslo tak velké, že by vás k němu žádný počet nahrazení nebo použití potenčních množin obsahující cokoliv menšího nedostal?

Takovému číslu se říká nepřístupné kardinální číslo, protože se k němu odspodu nedostanete. Mezi čísly, kterých jsme již dosáhli, můžeme kupodivu nalézt stín tohoto čísla. Alef 0. Tohoto čísla odspodu také nemůžete dosáhnout. Všechna čísla menží než ono jsou konečná a konečný počet konečných čísel nemůžeme přičíst, vynásobit, umocnit, nahradit konečněkrát konečným počtem skoků, dokonce na něj nemůžeme ani konečněkrát použít potenční množinu, aniž by nám vyšlo jiné než konečné množství.

Samozřejmě že potenční množina milinilionu na googolplex na googolplex na googolplex je opravdu velká, stále je však konečná. Alef 0, tomu prvnímu nejmenšímu nekonečnu, se ani nepřiblíží. Z tohoto důvodu se alef 0 často považuje za nepřístupné číslo. Někteří autoři s tím však nesouhlasí a argumentují tím, že nepřístupné číslo musí také být nepočitatelné, což dává smysl, alef 0 už jsme dosáhli, ale pamatujte, že se nám to podařilo jen proto, že jsme pomocí axiomů prostě prohlásili, že existuje.

To samé budeme muset udělat i u nepřístupných kardinálních čísel. Je vážně těžké si uvědomit, jak nepředstavitelně velké nepřístupné kardinální číslo je. Řeknu vám to takto: Konceptuální přeskok od ničeho k prvnímu nekonečnu je jako přeskok od prvního nekonečna k nepřístupnému číslu.

Teoretici množin popsali čísla větší než nepřístupná. Každé vyžaduje nový axiom velkých kardinálních čísel, který zajišťuje jejich existenci, čímž se zvětšuje náš vesmír čísel. Dostaneme se někdy do bodu, kde vymyslíme axiom implikující existenci tolika věcí, že bude implikovat věci, co si odporují? Zodpovíme někdy hypotézu kontinua?

Možná ne, ale ubíráme se slibnými směry. Prozatím úžasným faktem zůstává, že mnohá tato nekonečna, možná všechna, jsou tak velká, že není jasné, jestli vůbec skutečně existují nebo jestli se na ně dá ukázat ve fyzickém vesmíru. Pokud ano, pokud pro ně jednoho dne fyzikové najdou uplatnění, je to skvělé. Ale pokud ne, je to také skvělé.

Znamenalo by to, že jsme tímto mozkem, tou tak maličkatou, septilionkrát menší věcí než maličkatá planeta, na které žije, objevili něco pravdivého mimo rámec skutečna. Něco, co se dá aplikovat na skutečný svět, ale co je tak mocné, že to jde ještě dále. Dále, než co obsahuje samotný vesmír nebo co nám ukazuje nebo čím je. A jako vždy díky za sledování. Další zajímavostí o transkonečných ordinálních číslech je, že aritmetika je u nich drobet odlišná.

Běžně je 2 +1 to samé jako 1 + 2, ale omega + 1 není to samé jako 1 + omega. 1 + omega je ve skutečnosti jen omega. Představte si je jako typ uspořádání. Jedna věc umístěná před omega vyplýtvá všechna přirozená čísla a zbude nám typ uspořádání omega. Jedna věc umístěná za omega vyžaduje všechna přirozená čísla a pak omega, takže nám jako typ řádu zbyde omega +1.