Fixní body

Ahoj, tady Michael z Vsauce. Na Měsíci se nachází muzeum umění. Údajně.
Nemůžeme si být jistí, dokud se tam nevrátíme
a nezkontrolujeme to. Ale říká se, že Fred Waldhauer z laboratoří Bell
a sochař Forrest Myers v roce 1969 přesvědčili inženýra pracujícího
na lunárním modulu Apollo 12, aby do zlatých pokrývek
obalujících ty části kosmické lodi, které zůstanou na Měsíci, ukryl malinkatou keramickou destičku
o rozměrech zhruba 2x1 cm.

Do destičky byla vyryta
díla slavných umělců. Podle všech zúčastněných
se plán podařilo uskutečnit. Když tým Apolla opustil Měsíc,
destička tam zůstala. O dva dny později
Myers sdělil New York Times, co udělali, a tato fotografie
destičky byla zveřejněna v novinách. Obsahuje Rauschenbergovu rovnou čáru,
Oldenburgovu kresbu Mickey Mouse.

Je to super a ten příběh
je nejspíše pravdivý. Pokud se potvrdí,
tahle destička by se stala prvním a v současnosti jediným
muzeem umění na Měsíci. Ale ten palec něco zakrývá. Popravdě zakrývá
příspěvek od Andyho Warhola. Proč? Podle Warhola na destičku
pouze nevinně vyryl svoje iniciály. Stylizoval je takto.

Nakreslil nějaké divné W jako Warhol a pak udělal čáru zde,
aby to vypadalo jako A. To je vše,
jsou to jenom jeho iniciály. Tady je nezakrytý pohled na onu repliku. Tohle se právě teď nachází na Měsíci. Já se však teď nacházím na Zemi,
v Severní Americe. A tohle je mapa Severní Ameriky,
což je fajn, protože když jste na místě, jehož mapu máte, matematicky na vaší mapě
bude vždy nějaký bod, který je přesně nad místem
ve skutečném světě, které představuje.

Vždy. Nezáleží na tom, jak mapu držíte. Můžete s ní točit,
převrátit ji, dokonce ji překroutit, přehnout nebo ji zmuchlat. Podle Brouwerovy teorie
fixního bodu je to zaručeno. Fixní bod je cokoliv,
co se po transformaci nikam nehne.

Brouwerova teorie nám říká,
že je nemožné úplně zamíchat soustavu bodů, jestliže jsou k sobě poutány, bez děr, a jsou transformovány nepřetržitě
bez vystřihování nebo přelepování. Není-li poután, může být každý bod
přiřazen vždy na nové místo. Okolo děr může být bod
přiřazen na nějaké nové místo. A když budete vystřihovat nebo přelepovat,
každý bod může být přiřazen na nové místo. Ale v jiném případě
zamíchání vždy někde selže. Transformace je nepřetržitá tehdy, když se vzdálenost dvou bodů
ve stavu předešlém přiblíží nule, bude se k nule přibližovat
zároveň i ve stavu následném.

Každý čtverec v téhle šachovnici
je vybarven jinou barvou. Nechme zářit pixely, které jsou
v průběhu transformace ve čtverci, ve kterém začaly. Bez ohledu na to,
jak změníte velikost šachovnice nebo jak s ní budete manipulovat,
pokaždé bude někde zářit. Nikdy nemůžete dosáhnout toho,
aby byl každý pixel mimo svůj původní čtverec, alespoň pokud jej nevystříhnete
nebo ho nepřesunete úplně mimo.

Mám pro vás jednu otázku: Myslíte si, že kávu v hrníčku
můžete pomocí lžičky úplně zamíchat? Samozřejmě že nemůžete. Míchání kávy je
nepřetržitá transformace kávy a všechno zůstává
v tom samém prostoru, takže platí
Brouwerova teorie fixních bodů. Nezáleží na tom,
jak moc se snažíte míchat, po usazení tekutiny
bude vždy existovat alespoň jeden bod, který jste zamíchali přesně na místo,
kde byl na začátku.

Fixní bod. Pro ujištění,
káva se neskládá z bodů, skládá se z molekul,
ale ty jsou celkem malinkaté a velmi početné. Takže s určitou
chybovostí to platit bude. Nejenže vám fixní body
nedovolí něco úplně zamíchat, ale také vás k sobě
mohou přicucnout.

Mohou být přitažlivé. Jako číslo 9. Vyzkoušejte tohle: myslete na číslo
s více než jednou cifrou a pak jeho cifry sečtěte. Tuhle hodnotu
odečtěte od původního čísla, abyste získali nové číslo.

Pokud to budete
opakovat znovu a znovu, dokud vám nezbude
jednociferné číslo, vždycky vám vyjde 9. Pokaždé. Také si všimněte, že jakékoliv číslo se dvěma nebo více
ciframi mínus součet jeho cifer je hned dělitelné devíti. Jak je to možné?

Na devítkovosti
není v podstatě nic záhadného, je to jen důsledek toho,
jak zapisujeme čísla. Čísla můžeme napsat
různými způsoby, ale díky tomu nejběžnějšímu
desítkovému pozičnímu zápisu trik s devítkou funguje. V tomhle systému například číslo 25
neznamená dva a pět, znamená deset dvojek
a jedna pětka, to je 25. Odečítání výhradně pozičních cifer
odstraňuje jednoho člena z každé skupiny.

Cifra, která je jen jedna,
zmizí úplně. Z cifer, kterých máte deset,
vám zbyde devět kopií. Z cifer, kterých máte sto,
vám zbyde 99 kopií a tak dále. Takže se celé číslo
stane násobkem devíti. Přitažlivé fixní body hrají roli také ve známé metodě
pro vypočítávání druhých odmocnin. Říká se jí babylonská metoda. Číslo, jehož druhou
odmocninu chcete najít, se nazývá odmocněnec.

A jeho druhá odmocnina
je nějaké číslo, které je rovno odmocněnci
vydělenému tím číslem. Krokem jedna v téhle metodě je odhad. Pokud je váš odhad
menší než výsledek, odmocněnec vydělen vaším odhadem
bude větší než výsledek a opačně. Skutečný výsledek bude vždy
někde mezi těmito dvěma hodnotami. Takže až uděláte odhad,
vezměte obě hodnoty a zjistěte jejich aritmetický průměr.


Bude to bod mezi. A teď použijte tuhle hodnotu
jako svůj odhad a pokračujte. Budete se celkem slušnou rychlostí
sbíhat ke skutečné druhé odmocnině. Počet správných cifer
ve vašem průměru se po každém zopakování
zhruba zdvojnásobí. To je super,
ale pojďme si povídat o nekonečnu, konkrétně o číslech alef. Popisují velikost
uspořádaných nekonečen.

Nejmenší je alef 0,
které je rovno počtu celých čísel, které obsahuje. Ale existují doslova větší nekonečna. Podle narůstající velikosti
jsou to alef 1, alef 2, alef 3 a tak dále. Každé z nich je nekonečné,
ale představuje větší množství věcí než předcházející nekonečna. Pokud byste chtěli spárovat
věci z alef 0 s věcmi z alef 1, doslova by vám
dříve došly věci z alef 0.

I přestože je nekonečné. O číslech alef se můžete
dozvědět více v tomhle mém videu, ale jde o tohle:
existuje fixní bod alef. Všimněte si, že index každého alefu
je roven počtu nekonečen menších než on. Není žádné menší než alef 0.
Jedno menší než alef 1. Dvě menší než alef 2 a tak dále. Každé další číslo alef
je obrovsky větší než to předešlé, ale přidává pouze jedna
do rostoucího seznamu alefů.

Očividně jsou tyhle poměry
natolik rozdílné, že se nikde nepotkají. Ale oni se potkají. Podívejte se na tohle číslo. Alef alef alef alef alef alef...
A tak dále, nekonečná kaskáda alefů. Kolik nekonečen je menších
než tohle číslo? Nuže, podívejte se na jeho index. Je to nekonečná kaskáda
alefů stejně jako to číslo samotné. Tohle je alef fixní bod.

Nekonečno tak velké,
že je rovno počtu nekonečen, které jsou menší než ono samotné. To je super, ale moje asi nejoblíbenější věc spojená
s fixními body je Borsuk-Ulamova věta. Uvádí, že v jakýkoliv daný okamžik
musí existovat na zemském povrchu alespoň jedna dvojice bodů,
které jsou diametrálně naproti sobě, ale i přesto mají
stejnou teplotu a atmosférický tlak. Diametrálně opačné body
na kouli se nazývají antipody.

A jak jsem probíral dříve,
pokud umístíte toustovací chléb někam na zem
a druhý na antipodu tohoto bodu, dostanete zemský sendvič. Existují stránky, které vám pomohou vyhledat
takovéto opačné body na souši, ale zjistíte, že v současném úseku historie
má většina bodů na souši antipody ve vodě. To dává smysl, povrch Země
je z většiny pokryt vodou. Ale i když tohle víme,
ne vždycky dokážeme ocenit, jak obrovský je Tichý oceán.

Možná proto, že ho mapy
často ořezávají, rozdělují ho. Ale podívejte se na tohle. Tohle je Antlantický oceán. Dobře? Tohle je Tichý oceán. Je to spíše vodní polokoule. Tichý oceán je tak velký,
že obsahuje svoje vlastní antipody.

To znamená,
že se v něm nacházejí místa, kde byste mohli plout a vědět, že i kdybyste prokopali díru
skrz střed Země a vynořili se na druhé straně, pořád byste se nacházeli
v Tichém oceánu. Každopádně zpět
k Borsuk-Ulamovi. Abychom viděli,
jak to funguje, představme si dva teploměry
na opačných stranách Země.

A a B. Teploty, které naměří,
budou pravděpodobně odlišné, ale pokud prohodíme jejich umístění a budeme je udržovat vždy
na opačných stranách planety, naměřené teploty se prostě vymění. Aby prohození bylo kompetní, naměřené teploty se budou
muset alespoň jednou protnout. Nezáleží na tom, jak tyhle vždy opačné
teploměry prohodíme, vždy bude někde muset
dojít k protnutí.

Navíc nejsou tyhle fixní body
rozházeny po Zeměkouli náhodně. Jejich nepřetržitý pás
musí rozdělovat region A a region B. Proč?
Kdyby takováhle zeď neexistovala, znamenalo by to,
že bychom je mohli prohodit, aniž by se měření protnula,
o čemž víme, že se stát nemůže. Dále vyberme pár
antipodů v tomhle pásu a změřme v obou bodech
atmosférický tlak.

Pokud je stejný, je to v pořádku,
máme o starost méně. Ale pokud není, můžeme podél pásu
prostě tlakoměry prohazovat. Stejně jako s teplotou
se jejich naměřený tlak prohodí, takže někde musí
naměřit tu samou hodnotu. I když je počasí chaotické
a neustále se mění a i když je druhá strana
Země velmi, velmi daleko, musí vždy existovat alespoň dvě místa
na opačných koncích Země, kde je stejná teplota a tlak.

Tohle je mimochodem
pravda pro jakékoliv dvě proměnné, které se nepřetržitě mění
napříč zemským povrchem. Čtyřka je často nazývaná
kosmickým číslem. Proč? No, zkuste si tohle. Jmenujte jakékoliv číslo v angličtině,
vážně jakékoliv – kladné, záporné, racionální,
komplexní, nezajímavé, nadreálné, nekonečné –
na tom nesejde.

Spočtěte počet písmen v jeho jméně. Tím dostanete nové číslo. Spočtěte počet písmen v jeho jméně
a tohle opakujte. Úplně pokaždé eventuelně
dojdete ke čtyřce, u které se zaseknete
v nekončícím opakování. Poznámka: Pokud něco děláte
pořád a pořád dokola a nevychází vám výsledek jiný, než kdybyste to udělali
prostě jenom jednou, celý proces nazýváme idempotentním,
což znamená stejná moc.

Vypočítávání absolutní hodnoty
čísla je idempotentní činnost. Ať to uděláme jednou, nebo milionkrát,
pokaždé nám vyjde stejný výsledek. Mačkat tlačítko přivolání
výtahu je idempotentní. Jakmile ho zmáčknete,
přijede do vašeho patra. Kvůli tomu, že ho zmáčknete
a znovu a znovu a znovu, nepřijede rychleji
nebo nějakým jiným způsobem.

Každopádně,
zasekneme se u čtyřky, protože je to jediné číslo, které je v angličtině
zapsáno stejným počtem písmen jako množství,
které představuje. Asi před čtyřmi lety uživatel redditu
protocol7 poukázal na to, že neexistují žádné jiné nekončící
smyčky kromě té se čtyřkou a že zatímco -15 a -17 obsahují
jejich absolutní hodnotu písmen, což je zajisté činí výjimečnými, rozhodně je nevyslovujeme
se záporným počtem písmen.

Čtyřka má štěstí,
jako když najde čtyrlístek. Má víc štěstí
než Ježíš na zelený čtvrtek. Dokonce i na předloktí
mám tu fantastickou čtyřku. Snad se příště neuvidíme,
jako by bylo za čtyři dvanáct. A jako vždycky, díky za sledování. Mám pro vás vzrušující novinky.

Pokud jste rodičem
malého dítěte nebo pokud jste
vy sami malé dítě, mám pro vás video
na kanálu Sesame Studios, na které byste se měli kouknout. Sesame Studios je
od tvůrců Sezame, otevři se. Je to skvělý nový kanál
plný úžasných videí pro malé. Podívejte se na něj,
odebírejte, pokud jste děti, použijte jiný kanál
a odebírejte i na něm.

Udělejte cokoliv, abyste od nich
mohli dostávat více obsahu, je to vážně super. Kevin a Jake u nich už videa mají,
koukněte na moje a jako vždycky, díky za sledování.