Fixní bodyVsauce

Ahoj, tady Michael z Vsauce. Na Měsíci se nachází muzeum umění. Údajně. Nemůžeme si být jistí, dokud se tam nevrátíme a nezkontrolujeme to. Ale říká se, že Fred Waldhauer z laboratoří Bell a sochař Forrest Myers v roce 1969 přesvědčili inženýra pracujícího na lunárním modulu Apollo 12, aby do zlatých pokrývek obalujících ty části kosmické lodi, které zůstanou na Měsíci, ukryl malinkatou keramickou destičku o rozměrech zhruba 2x1 cm.

Do destičky byla vyryta díla slavných umělců. Podle všech zúčastněných se plán podařilo uskutečnit. Když tým Apolla opustil Měsíc, destička tam zůstala. O dva dny později Myers sdělil New York Times, co udělali, a tato fotografie destičky byla zveřejněna v novinách. Obsahuje Rauschenbergovu rovnou čáru, Oldenburgovu kresbu Mickey Mouse.

Je to super a ten příběh je nejspíše pravdivý. Pokud se potvrdí, tahle destička by se stala prvním a v současnosti jediným muzeem umění na Měsíci. Ale ten palec něco zakrývá. Popravdě zakrývá příspěvek od Andyho Warhola. Proč? Podle Warhola na destičku pouze nevinně vyryl svoje iniciály. Stylizoval je takto.

Nakreslil nějaké divné W jako Warhol a pak udělal čáru zde, aby to vypadalo jako A. To je vše, jsou to jenom jeho iniciály. Tady je nezakrytý pohled na onu repliku. Tohle se právě teď nachází na Měsíci. Já se však teď nacházím na Zemi, v Severní Americe. A tohle je mapa Severní Ameriky, což je fajn, protože když jste na místě, jehož mapu máte, matematicky na vaší mapě bude vždy nějaký bod, který je přesně nad místem ve skutečném světě, které představuje.

Vždy. Nezáleží na tom, jak mapu držíte. Můžete s ní točit, převrátit ji, dokonce ji překroutit, přehnout nebo ji zmuchlat. Podle Brouwerovy teorie fixního bodu je to zaručeno. Fixní bod je cokoliv, co se po transformaci nikam nehne.

Brouwerova teorie nám říká, že je nemožné úplně zamíchat soustavu bodů, jestliže jsou k sobě poutány, bez děr, a jsou transformovány nepřetržitě bez vystřihování nebo přelepování. Není-li poután, může být každý bod přiřazen vždy na nové místo. Okolo děr může být bod přiřazen na nějaké nové místo. A když budete vystřihovat nebo přelepovat, každý bod může být přiřazen na nové místo. Ale v jiném případě zamíchání vždy někde selže. Transformace je nepřetržitá tehdy, když se vzdálenost dvou bodů ve stavu předešlém přiblíží nule, bude se k nule přibližovat zároveň i ve stavu následném.

Každý čtverec v téhle šachovnici je vybarven jinou barvou. Nechme zářit pixely, které jsou v průběhu transformace ve čtverci, ve kterém začaly. Bez ohledu na to, jak změníte velikost šachovnice nebo jak s ní budete manipulovat, pokaždé bude někde zářit. Nikdy nemůžete dosáhnout toho, aby byl každý pixel mimo svůj původní čtverec, alespoň pokud jej nevystříhnete nebo ho nepřesunete úplně mimo.

Mám pro vás jednu otázku: Myslíte si, že kávu v hrníčku můžete pomocí lžičky úplně zamíchat? Samozřejmě že nemůžete. Míchání kávy je nepřetržitá transformace kávy a všechno zůstává v tom samém prostoru, takže platí Brouwerova teorie fixních bodů. Nezáleží na tom, jak moc se snažíte míchat, po usazení tekutiny bude vždy existovat alespoň jeden bod, který jste zamíchali přesně na místo, kde byl na začátku.

Fixní bod. Pro ujištění, káva se neskládá z bodů, skládá se z molekul, ale ty jsou celkem malinkaté a velmi početné. Takže s určitou chybovostí to platit bude. Nejenže vám fixní body nedovolí něco úplně zamíchat, ale také vás k sobě mohou přicucnout.

Mohou být přitažlivé. Jako číslo 9. Vyzkoušejte tohle: myslete na číslo s více než jednou cifrou a pak jeho cifry sečtěte. Tuhle hodnotu odečtěte od původního čísla, abyste získali nové číslo.

Pokud to budete opakovat znovu a znovu, dokud vám nezbude jednociferné číslo, vždycky vám vyjde 9. Pokaždé. Také si všimněte, že jakékoliv číslo se dvěma nebo více ciframi mínus součet jeho cifer je hned dělitelné devíti. Jak je to možné?

Na devítkovosti není v podstatě nic záhadného, je to jen důsledek toho, jak zapisujeme čísla. Čísla můžeme napsat různými způsoby, ale díky tomu nejběžnějšímu desítkovému pozičnímu zápisu trik s devítkou funguje. V tomhle systému například číslo 25 neznamená dva a pět, znamená deset dvojek a jedna pětka, to je 25. Odečítání výhradně pozičních cifer odstraňuje jednoho člena z každé skupiny.

Cifra, která je jen jedna, zmizí úplně. Z cifer, kterých máte deset, vám zbyde devět kopií. Z cifer, kterých máte sto, vám zbyde 99 kopií a tak dále. Takže se celé číslo stane násobkem devíti. Přitažlivé fixní body hrají roli také ve známé metodě pro vypočítávání druhých odmocnin. Říká se jí babylonská metoda. Číslo, jehož druhou odmocninu chcete najít, se nazývá odmocněnec.

A jeho druhá odmocnina je nějaké číslo, které je rovno odmocněnci vydělenému tím číslem. Krokem jedna v téhle metodě je odhad. Pokud je váš odhad menší než výsledek, odmocněnec vydělen vaším odhadem bude větší než výsledek a opačně. Skutečný výsledek bude vždy někde mezi těmito dvěma hodnotami. Takže až uděláte odhad, vezměte obě hodnoty a zjistěte jejich aritmetický průměr.

Bude to bod mezi. A teď použijte tuhle hodnotu jako svůj odhad a pokračujte. Budete se celkem slušnou rychlostí sbíhat ke skutečné druhé odmocnině. Počet správných cifer ve vašem průměru se po každém zopakování zhruba zdvojnásobí. To je super, ale pojďme si povídat o nekonečnu, konkrétně o číslech alef. Popisují velikost uspořádaných nekonečen.

Nejmenší je alef 0, které je rovno počtu celých čísel, které obsahuje. Ale existují doslova větší nekonečna. Podle narůstající velikosti jsou to alef 1, alef 2, alef 3 a tak dále. Každé z nich je nekonečné, ale představuje větší množství věcí než předcházející nekonečna. Pokud byste chtěli spárovat věci z alef 0 s věcmi z alef 1, doslova by vám dříve došly věci z alef 0.

I přestože je nekonečné. O číslech alef se můžete dozvědět více v tomhle mém videu, ale jde o tohle: existuje fixní bod alef. Všimněte si, že index každého alefu je roven počtu nekonečen menších než on. Není žádné menší než alef 0. Jedno menší než alef 1. Dvě menší než alef 2 a tak dále. Každé další číslo alef je obrovsky větší než to předešlé, ale přidává pouze jedna do rostoucího seznamu alefů.

Očividně jsou tyhle poměry natolik rozdílné, že se nikde nepotkají. Ale oni se potkají. Podívejte se na tohle číslo. Alef alef alef alef alef alef... A tak dále, nekonečná kaskáda alefů. Kolik nekonečen je menších než tohle číslo? Nuže, podívejte se na jeho index. Je to nekonečná kaskáda alefů stejně jako to číslo samotné. Tohle je alef fixní bod.

Nekonečno tak velké, že je rovno počtu nekonečen, které jsou menší než ono samotné. To je super, ale moje asi nejoblíbenější věc spojená s fixními body je Borsuk-Ulamova věta. Uvádí, že v jakýkoliv daný okamžik musí existovat na zemském povrchu alespoň jedna dvojice bodů, které jsou diametrálně naproti sobě, ale i přesto mají stejnou teplotu a atmosférický tlak. Diametrálně opačné body na kouli se nazývají antipody.

A jak jsem probíral dříve, pokud umístíte toustovací chléb někam na zem a druhý na antipodu tohoto bodu, dostanete zemský sendvič. Existují stránky, které vám pomohou vyhledat takovéto opačné body na souši, ale zjistíte, že v současném úseku historie má většina bodů na souši antipody ve vodě. To dává smysl, povrch Země je z většiny pokryt vodou. Ale i když tohle víme, ne vždycky dokážeme ocenit, jak obrovský je Tichý oceán.

Možná proto, že ho mapy často ořezávají, rozdělují ho. Ale podívejte se na tohle. Tohle je Antlantický oceán. Dobře? Tohle je Tichý oceán. Je to spíše vodní polokoule. Tichý oceán je tak velký, že obsahuje svoje vlastní antipody.

To znamená, že se v něm nacházejí místa, kde byste mohli plout a vědět, že i kdybyste prokopali díru skrz střed Země a vynořili se na druhé straně, pořád byste se nacházeli v Tichém oceánu. Každopádně zpět k Borsuk-Ulamovi. Abychom viděli, jak to funguje, představme si dva teploměry na opačných stranách Země.

A a B. Teploty, které naměří, budou pravděpodobně odlišné, ale pokud prohodíme jejich umístění a budeme je udržovat vždy na opačných stranách planety, naměřené teploty se prostě vymění. Aby prohození bylo kompetní, naměřené teploty se budou muset alespoň jednou protnout. Nezáleží na tom, jak tyhle vždy opačné teploměry prohodíme, vždy bude někde muset dojít k protnutí.

Navíc nejsou tyhle fixní body rozházeny po Zeměkouli náhodně. Jejich nepřetržitý pás musí rozdělovat region A a region B. Proč? Kdyby takováhle zeď neexistovala, znamenalo by to, že bychom je mohli prohodit, aniž by se měření protnula, o čemž víme, že se stát nemůže. Dále vyberme pár antipodů v tomhle pásu a změřme v obou bodech atmosférický tlak.

Pokud je stejný, je to v pořádku, máme o starost méně. Ale pokud není, můžeme podél pásu prostě tlakoměry prohazovat. Stejně jako s teplotou se jejich naměřený tlak prohodí, takže někde musí naměřit tu samou hodnotu. I když je počasí chaotické a neustále se mění a i když je druhá strana Země velmi, velmi daleko, musí vždy existovat alespoň dvě místa na opačných koncích Země, kde je stejná teplota a tlak.

Tohle je mimochodem pravda pro jakékoliv dvě proměnné, které se nepřetržitě mění napříč zemským povrchem. Čtyřka je často nazývaná kosmickým číslem. Proč? No, zkuste si tohle. Jmenujte jakékoliv číslo v angličtině, vážně jakékoliv – kladné, záporné, racionální, komplexní, nezajímavé, nadreálné, nekonečné – na tom nesejde.

Spočtěte počet písmen v jeho jméně. Tím dostanete nové číslo. Spočtěte počet písmen v jeho jméně a tohle opakujte. Úplně pokaždé eventuelně dojdete ke čtyřce, u které se zaseknete v nekončícím opakování. Poznámka: Pokud něco děláte pořád a pořád dokola a nevychází vám výsledek jiný, než kdybyste to udělali prostě jenom jednou, celý proces nazýváme idempotentním, což znamená stejná moc.

Vypočítávání absolutní hodnoty čísla je idempotentní činnost. Ať to uděláme jednou, nebo milionkrát, pokaždé nám vyjde stejný výsledek. Mačkat tlačítko přivolání výtahu je idempotentní. Jakmile ho zmáčknete, přijede do vašeho patra. Kvůli tomu, že ho zmáčknete a znovu a znovu a znovu, nepřijede rychleji nebo nějakým jiným způsobem.

Každopádně, zasekneme se u čtyřky, protože je to jediné číslo, které je v angličtině zapsáno stejným počtem písmen jako množství, které představuje. Asi před čtyřmi lety uživatel redditu protocol7 poukázal na to, že neexistují žádné jiné nekončící smyčky kromě té se čtyřkou a že zatímco -15 a -17 obsahují jejich absolutní hodnotu písmen, což je zajisté činí výjimečnými, rozhodně je nevyslovujeme se záporným počtem písmen.

Čtyřka má štěstí, jako když najde čtyrlístek. Má víc štěstí než Ježíš na zelený čtvrtek. Dokonce i na předloktí mám tu fantastickou čtyřku. Snad se příště neuvidíme, jako by bylo za čtyři dvanáct. A jako vždycky, díky za sledování. Mám pro vás vzrušující novinky.

Pokud jste rodičem malého dítěte nebo pokud jste vy sami malé dítě, mám pro vás video na kanálu Sesame Studios, na které byste se měli kouknout. Sesame Studios je od tvůrců Sezame, otevři se. Je to skvělý nový kanál plný úžasných videí pro malé. Podívejte se na něj, odebírejte, pokud jste děti, použijte jiný kanál a odebírejte i na něm.

Udělejte cokoliv, abyste od nich mohli dostávat více obsahu, je to vážně super. Kevin a Jake u nich už videa mají, koukněte na moje a jako vždycky, díky za sledování.