Jak vyrobit brachistochronu

Ahoj, tady Michael z Vsauce! Kdybychom se všichni chytili za ruce
a utvořili řetěz kolem Země, bylo by nás dost na to, aby tento řetěz
obepnul celou Zemi kolem dokola? Je nás celkem
okolo sedmi a půl miliardy. To je hodně, ale uvědomte si,
že kdybychom tolik lidských těl nahrnuli na jednu velkou hromadu, sotva by vyplnila Grand Canyon. Tohle jsme my všichni
na jednom místě.

Hromada těl všech lidí,
kteří dnes na Zemi žijí, by vytvořila kužel
vysoký sedm tisíc těl s průměrem základny dva tisíce těl. Víc nás není. Ale to je trojrozměrné těleso. Co kdybychom utvořili
jednorozměrný lidský řetěz? Každý článek o délce
řekněme jeden metr. Takový řetěz bychom roztáhli kolem planety.

Bylo by nás dost,
abychom si stoupli kolem dokola, a ještě by nám 99,5 %
lidské populace zbylo. Kdybychom utvořili
kružnici ze všech lidí, její průměr by byl
více než 2,4 milionu kilometrů. To je více, než má
oběžná dráha Měsíce! To už není žádná kružnička,
ale pořádná kruhusťárna. Dnes si budeme povídat o kruzích. Konkrétně o něčem, co dokážou.

Valit se. Co je to ale valení? Valení je, když se jeden předmět
pohybuje vůči jinému a neustále se druhého předmětu dotýká a okamžitá rychlost jejich
styčných bodů je rovna nule. To znamená,
že pod sebou nepodkluzují. Trajektorii opisované bodem
na povrchu valícího se předmětu se v matematice říká ruleta.

To ve francouzštině
znamená "kolečko". Při valení po rovině střed kruhu
opisuje ruletu tvaru přímky. Proto se kruhy osvědčily jako kola. Po čtvercích by jízda hodně drncala. Ale i středy čtverců můžou na správném
povrchu tvořit přímou, rovnou ruletu. Tak fungují čtvercová kola, která jsem si nedávno vyzkoušel
v Muzeu matematiky v New Yorku. Stan Wagon napsal
o kolech skvělý článek.

Odkaz najdete dole
pod videem. Stojí za to. Také vytvořil interaktivní program
v rámci Wolfram Demonstration Project, který vám umožňuje navrhnout
tvar a pak najít odpovídající tvar cesty, po které se bude moct hladce valit. Křivka opisovaná bodem na kruhu
valícím se po přímce má speciální název. Říká se jí trochoida podle řeckého
slova pro kolo, "trochos". Trochoidy můžou
být vnitřní nebo vnější podle toho, jestli je bod
umístěn uvnitř nebo vně kruhu.

Pokud je bod na obvodu kruhu, výsledné křivce říkáme cykloida. Cykloidy jsou velmi zajímavé
a věnoval jsem jim i tento díl. Poslední dobou hodně
spolupracuji s Adamem Savagem. Spojili jsme síly na Brain Candy Live,
našem turné po čtyřiceti městech, kde vás doufám uvidím. Nedávno jsem Adama
požádal o pomoc s ruletami.

Adame, máš nějaký
oblíbený mnohoúhelník? Mám je rád všechny,
jsem jejich velkým fanouškem. Jsou jako tvoje děti,
nemůžeš si vybrat. Já taky ne, ale mám oblíbenou
činnost, kterou s nimi můžu dělat. A jakou? Cyklogonu. Cyklogona? Něco takového vážně existuje? Je to opravdové.

Nemáš tu někde mnohoúhelník? Tady, tohle je čtverec, že? Řekněme, že je to čtverec. Když si vyberu jeden
vrchol tohoto čtverce a začnu ten čtverec valit a sleduješ, kudy ta hrana... sakra! Zkusím to ještě jednou. Trajektorie, kterou ta hrana
opisuje, se nazývá cyklogona.

Když to opakuješ
s mnohoúhelníky s více vrcholy, dostáváš se blíž k tomu,
co po tobě dnes chci. K cykloidě. Mohl jsem to udělat ve Photoshopu
a zanimovat to jako obyčejně. Ale ty máš dílnu. Můžeme si to vyrobit. Proč si chci vyrobit cykloidu? Na něco se zeptám.


Kdyby na vás působila jen gravitace, jaká by byla nejrychlejší cesta,
po které by se předmět valil nebo klouzal z bodu A do bodu B, který je níž,
ale ne přímo pod bodem A. Byla by to přímka? To by jistě byla nejkratší cesta, ale když předmět padá,
gravitace ho urychluje. Strmý pád na počátku by tedy znamenal
vyšší rychlost během zbytku cesty. Je to výhodnější, přestože je tato cesta
mnohem delší než přímka mezi oběma body. Jaká je tedy optimální kombinace
krátké vzdálenosti a vyššího zrychlování?

Tato cesta nejkratšího času
je řešením problému brachistochrony, a rozhodně to není žádná novinka. Galileo si myslel,
že řešením je výseč kružnice. To ale není pravda. V roce 1697 Johannes Bernoulli našel
řešení pomocí jednoduchého postupu. Abychom to pochopili,
pojďme si prvně říct o podobném problému. Stojíte v bahně a chcete se co nejrychleji
dostat k míči na silnici.

Nejkratší cestou by byla přímka, ale když na silnici můžete
běžet rychleji než bahnem, cesta nejkratšího
času bude ta, kdy poběžíte kratší dobu bahnem a delší
dobu na povrchu, kde můžete běžet rychleji. Úhel, pod kterým musíte běžet k silnici
závisí na rychlosti pohybu na obou površích. Když je poměr sinů obou úhlů roven
poměru rychlostí na obou površích, výsledek bude onou
optimální nejrychlejší cestou. Tomu se říká Snellův zákon.

Světlo se vždycky chová
podle Snellova zákona. Když se mění jeho rychlost, jako když opouští látku,
ve které se pohybuje pomaleji, třeba vodu, do prostředí, kde se pohybuje
rychleji, třeba do vzduchu, vždy se láme
podle Snellova zákona. Jinými slovy, světlo se vždy
pohybuje po cestě, která je nejrychlejší. Bernoulli pomocí tohoto zákona
vyřešil problém brachistochrony. Změna rychlosti světla se dá přirovnat
ke změně rychlosti padajícího předmětu.

Padající předmět ale nemění
rychlost jen jednou. Rychlost se neustále
zvyšuje, protože zrychluje. Aby to mohl napodobit světlem, o němž Bernoulli věděl,
že ukazuje nejrychlejší cestu, musel přidávat velmi tenké vrstvy, ve kterých je rychlost
světla čím dál vyšší. A už víme, jak to dopadlo. Tady ji máme!

Křivka brachistochrona! Cesta nejkratšího času. Skutálejte se po této křivce a vždy předeženete cokoliv,
co se valí po jakékoliv jiné cestě. Bernoulli byl chytrý a věděl,
že tato křivka má i jiný význam, uvědomil si,
že je to vlastně cykloida. Trajektorie bodu na obvodu kruhu,
který se valí po přímce. Cykloida je po celé svojí délce
v souladu se Snellovým zákonem.

Abyste pochopili proč, doporučuju podívat se
na video o problému brachistochrony. Tenhle kanál je skvělý, jsem jejich velkým
fanouškem, jejich vysvětlení jsou úžasná. Každopádně cykloida je v perfektní
rovnováze mezi co nejkratší cestou a co nejčasnějším zrychlením. Vysvětlil jsem to
Adamovi a řekl jsem mu, že by bylo skvělé vyrobit si cykloidu
a pouštět po ní předměty. A on řekl: Jdeme se do toho pustit!

Nejprve budeme potřebovat
přiměřeně velký kruh. Pak pomocí něj nakreslíme cykloidu. Chtěl bych udělat závod. Podívej se, když máme
bod A tady a bod B tady a ty říkáš, že je ta křivka rychlejší
než přímka, když po ní něco pustíme. Chtěl bych vyrobit
i přímku z A do B... Jo a možná taky
nějakou extrémní křivku. Třeba takovou.

Dobrá, tady mám několik kružítek... Ty máš prodlužku na kružítko? Jo, mám spoustu udělátek. To jsem ještě neviděl. To je ono? Tohle se spojí s tímhle
a pak se to připojí k tomuhle. Více méně... Mám z toho trochu výčitky. Tímhle si plním svůj velký sen.

- Vážně?
- Je to takový nerdovský sen. Není to jako kdybych chtěl
svou vlastní vzduchovku. Chci jen křivku,
po které můžu kutálet předměty. Dobře, tak až to vyrobíme, bude to můj vánoční dárek pro tebe. Myslím, že už jsem
přišel na to, jak to vyrobíme, aby to k něčemu bylo,
ale aby to taky nebylo moc složité. Vezmi si nůž a vyřízni
ten kruh kousek od okraje.

Co s tím budeš dál dělat? Vyříznu to na pásové pile,
jestli to nechceš udělat sám. - Můžeš začít.
- Dobře, jdu na to. Hotovo. Je to moc hrubé, tak to ještě trochu zabrousím. - To by mohlo stačit.
- Je to dobrý. Teď pomocí toho
chceš nakreslit cykloidu.

Přesně. Takže tam vyvrtáme dírku. Jo, musí být přesně
na okraji, ne nad ním. Vyvrtám to hned u okraje. Zkazil jsem to. Myslím že ne. Je to lepší,
než mít na obvodu zub. Chceme aby se křivka
dotýkala okraje.

Dobře, uděláme si
nejdřív obrys cykloidy, který pak přenesu na plexisklo. To je průhledné
a bude to tedy lépe vidět. Tohle ti umožní nakreslit si cykloidu,
tak by to mělo být, že? - Jo, skvěle! - Zatlač mým směrem,
ať to nepodklouzne. Je to jako spiritistická tabulka
pro geometrické nadšence. To je spiritistická tabulka
pro geometrické nadšence! Dobře, máme to.

Brachistochrona! - To je ta křivka, o které
jsme mluvili? - Jo! Támhle je začátek, tady konec
a to je to, co jsme chtěli. - Jo. - Není to paráda? Je to paráda! Dobře... Postavíme to na... dřevěnou desku, vysokou řekněme 2 cm a v ní budou žlábky, vyříznu je na cirkulárce
po celé délce desky.

Do těch žlábků zasadíme
ty křivky vyrobené z plexiskla. Upevníme to na zadní stěnu, na které taky budou
žlábky vyřezané cirkulárkou. Do toho zasadíme ty křivky,
aby byly dobře upevněné. Možná ještě nějakou
zarážku na konci.

Abychom mohli slyšet,
jak dojedou do cíle. Takže tady budou různé dráhy. Jedna bude cykloida, úsečka a pak ještě extrémní křivka. A ty chceš to plexisklo
ohnout do těch tvarů? Ne, bude to jinak,
bude se ti to líbit. Do plexiskla vyřízneme naše dráhy.

Bude to jen tenká hrana. Po ní budeme pouštět...
mám tady na to někde materiál... ...polyacetalové kotouče. Bude to vypadat takhle. Takhle budou vypadat ze strany. Budou ve tvaru H. A tou rýhou to bude
sedět na plexiskle. Ten kotouč sám zapadne na plexisklo
a bude se po něm kutálet.

To je ono! Tak se mi to líbí. Ty křivky se mi líbí! Než s Adamem vyrobíme
cykloidovou závodní dráhu, pojďme se společně
podívat na jiné typy rulet. Jak jsem říkal, trochoidy
jsou křivky tvořené kruhem, valícím se po přímce. Epitrochoida vznikne,
když se kruh valí vně po obvodu kružnice.

Když se disk valí po vnitřku kružnice,
vzniká nám hypotrochoida. Tak se označují křivky, které jste možná
v dětství kreslili pomocí spirografů. Všimněte si, že jejich dírky
neleží na obvodu disku, přestože některé jsou blízko. Pro epitrochoidy a hypotrochoidy vytvářené
body na obvodu máme speciální názvy. Podobně jako u kruhu
valícím se po přímce se nazývají epicykloidy a hypocykloidy. Když mají dvě
kružnice stejný poloměr, bod na valící se kružnici se dotkne
stacionární kružnice vždy na stejném místě.

Vytvoří tak špičku. Tomuhle epicykloidu
ve tvaru srdce se říká kardioida. Když má valící se kružnice
poloviční poloměr, vznikne epicykloida
se dvěma špičkami, které se říká nefroida. Protože zřejmě tvarem
připomíná ledvinu. Třetinový poloměr vytvoří tři špičky, čtvrtinový čtyři špičky a tak dál.

Pokud je čtvrtinový poloměr
kružnice tvořící hypocykloidu, výsledné křivce se říká asteroida, protože vypadá jako hvězda, což si dříve lidé
mysleli i o asteroidech. Třetinový průměr vytvoří deltoidu. Ta je pojmenovaná po své
podobnosti řeckému písmenu delta. Při polovičním poloměru
je výsledkem úsečka.

Tento zajímavý vztah
se označuje jako Tusiho dvojice. Převádí rotační pohyb na lineární. Toho využívá známá iluze,
kde se jednotlivé body hýbou po úsečkách, ale dohromady tvoří
valící se kružnici. Když k tomu připevníte tyčku,
vyrobíte Archimédův elipsograf, který můžete použít k rýsování elips. Taky se to vyrábí jako
Hillbilly Entertainment Center, které jsem koupil
v Osceole v Missouri.

Teď už se ale vraťme k našemu
výrobku na porovnávání křivek. Nalepím sem cílovou pásku. Nádhera! Cílová páska je na místě. - Jsi připravený?
- Jsem připravený! Dobře, odpočítám to na tři. Jdeme na to.
Tři - dva - jedna - teď! První, druhý, třetí.

Ta prudká byla druhá,
úsečka byla poslední. Úsečka byla poslední! Nejkratší cesta k bodu B byla
nejpomalejší možností, jak se tam dostat. Jo, bylo to tak. Zkusme to ještě jednou. Bylo to totiž dost těsný. Brachistochrona byla
bezpochyby první. Je to ale pořádný jazykolam.

Bra-chis-to-chro-na. Nemá nic společného s brachiosaurem,
to je něco úplně jiného. Jendou jsem si vyhledával vztah
mezi slovy "ingenuous" a "ingenuity". Zjistil jsem, že nemají
nic společného. Tak jo, jsi připravený? Tři - dva - jedna - teď! - Jo. - Stejný výsledek? Stejný výsledek.

- První, druhý a třetí.
- Tyhle byly dost těsné. Odpověděli jsme tedy
na hlavní otázku, že brachistochrona je
nejrychlejší cestou do cíle. Brachistochrona je také
známá jako tautochronní křivka. Ta má ještě jednu vlastnost,
kterou bychom měli otestovat. Jakou? Je to... Počkej, než půjdeme dál, dokázali jsme,
že mezi těmito třemi křivkami je brachistochrona
z cykloidy je nejrychlejší.

Je nejrychlejší. Na strmé se brzy zvýší rychlost, ale pak
je dlouhý úsek bez jakéhokoliv zrychlení. Když se valí přímo,
tak to taky nevyjde. Nejdůležitější je mít perfektní rovnováhu
mezi časným zrychlením a krátkou cestou. Je úžasné, jak se dá
narýsovat ta křivka, že cykloida tak účinně
vyvažuje tyhle parametry.

Jo, protože kdyby k žádnému
zrychlení nedocházelo, kdyby působila jen
jedna síla na počátku, úsečka by nejspíš byla nejrychlejší. Co je tedy ta druhá
vlastnost křivky tautochrony? Právě jsi to řekl! Tautochrona znamená stejný čas. Takže... Jak podle geometrie a matematiky nezáleží na tom,
kde na křivce začneš.

- Spadl nám kotouč.
- To byla tvoje chyba. Jo, byla to moje chyba. Ten stůl stojí za prd,
jsou tady ty vyvýšené okraje. Jo, pěkně mě vytáčí. Takže je to vlastně moje chyba. Dobře, jsem rád,
že jsme si to vyjasnili. Já teda vyndám
i tu úsečkovou dráhu.

Zbyde nám jen cykloida, které se říká i brachistochrona, ale také má zvláštní vlastnost. Nezáleží, kde se kotouč
na počátku nachází, když ho pustím, vždy se dostane
na konec za stejnou dobu. Počkej, takže když začnu tady, Bude trvat určitou dobu,
než sklouzne dolů, a je to stejná doba,
jako když začnu tady?

Jo a stejná doba,
jako když začneš odtud. No dobře... Páni, tak jo. Takže když začnu odtud, moc to nepojede kvůli tření. Ale na počítači
to dokonale funguje. To je ale nuda. Tohle je skutečný svět.

Možná nebudeme začínat tak nízko. Můžeme začít tady, tady a tady. Myslím, že by to šlo už i odtud. Asi to bude hodně ovlivněné třením, ale uvidíme, jak to půjde. Máme jich dost. Proto jsme taky udělali tři křivky. Všechny tři jsme uřízli
a brousili v celku, jsou tedy skoro stejné.

Budeme ještě muset seškrábnout
hrany, jako jsem to udělal u téhle. Obrousíme to smirkovým papírem a ještě něčím... Drátěnkou. Víš, že když sloupneš
z plexiskla ten papír, dá se dobře zmačkat
a můžeš s ním házet jako s míčkem. Jak je ten papír na plexiskle
vlastně připevněný?

Dobrá otázka,
neviděl jsem, jak to dělají. Zdá se, že to není ničím přilepené. Nějak to udělali,
možná je to nějaký typ 3M lepidla. Tohle bude vážně super. Doufám, že jo. Teoreticky
by měla být teorie a praxe stejná, ale v praxi... Byl jsem na Univerzitě
v Chicagu a jedno jejich moto je: "V praxi to funguje dobře,
ale jak je to teoreticky?"

Jsou to ale hlavičky. Takže zkusíme dát jednu sem a ty podrž jednu tady. Ne, uděláme to bez toho držáku. Měl by to udělat jen jeden z nás, aby to bylo opravdu současně. Podej mi ten třetí. Takže máme tři různé startovní pozice.

Tahle je nejdál od cíle a tahle je nejblíž. Která se tedy dostane do cíle první? Uvidíme. Intuice mi říká,
že první v cíli bude tahle. Páni! To bylo úžasný! Všechny se potkaly v cíli! Dobře, zkusíme je prohodit.

Tak jo. Musíš je pustit sám,
jinak by bylo těžké to správně načasovat. Tři - dva - jedna... Viděl jsem, jak se dohnaly. Jako by na sebe
před cílem počkaly. Stoupnu si trochu dál,
ať mám lepší výhled. - Připravený? - Jo. Tři - dva - jedna...

No není to paráda? Vážně se v cíli potkaly, jako kdyby
všechny začínaly tady nahoře. Takže když si odmyslíme drobné
nepřesnosti a nějaké to tření, dorazí do cíle za stejnou dobu, jako když začínají ze stejné výšky. Takže to bylo ze začátku... Je to tvůj vysněný pokus
s tautochronní křivkou? Jo, vážně je.

Je to taky můj vysněný
pokus s brachistorchonou a zároveň i vysněný
pokus s cykloidou. - Koukej na tohle!
- Jo, zkus to! To je vážně parádní. A ještě jednou. Teď to bylo úplně přesně. V téhle hře nezáleží na tom, odkud začínáš
nebo kdo jsi. Vyhrává každý. Pokaždé je to remíza.

Tohle je potěcha pro můj mozek. Něco, co jsem znal teoreticky a z různých animací,
a teď to mám přímo před sebou. Můžu si to odstartovat,
odkud se mi zachce. Můžu si na to sáhnout. Proto je Brain Candy taková zábava. Moc rád převádím teorii do praxe. Připadá mi, že jsme dlouho měli podobné
nápady a konečně jsme je spojili dohromady.

Jo, je to takové naše děťátko. Možná jeden z nás
neumí tak dobře brousit a možná to ten druhý celé zachránil. Ale teď je to skutečné,
je to mezi námi a je to tak dobře. - To byla zábava!
- Jo, moc jsem se bavil. Mé sny se staly skutečností! Adame, moc ti děkuju za pomoc. Spolupráce s tebou
je vždycky úžasná.

Doufám, že se s vámi všemi
setkám na Brain Candy Live. Bude to paráda! A snad ve vašem životě
narazíte na tautochronu. Řešení, které vás a ostatní
přivede dohromady, i když jste každý začali někde jinde. A jako vždycky... Díky za sledování! Překlad: Zarwan
www.videacesky.cz