Jak vyrobit brachistochronuVsauce

Ahoj, tady Michael z Vsauce! Kdybychom se všichni chytili za ruce a utvořili řetěz kolem Země, bylo by nás dost na to, aby tento řetěz obepnul celou Zemi kolem dokola? Je nás celkem okolo sedmi a půl miliardy. To je hodně, ale uvědomte si, že kdybychom tolik lidských těl nahrnuli na jednu velkou hromadu, sotva by vyplnila Grand Canyon. Tohle jsme my všichni na jednom místě.

Hromada těl všech lidí, kteří dnes na Zemi žijí, by vytvořila kužel vysoký sedm tisíc těl s průměrem základny dva tisíce těl. Víc nás není. Ale to je trojrozměrné těleso. Co kdybychom utvořili jednorozměrný lidský řetěz? Každý článek o délce řekněme jeden metr. Takový řetěz bychom roztáhli kolem planety.

Bylo by nás dost, abychom si stoupli kolem dokola, a ještě by nám 99,5 % lidské populace zbylo. Kdybychom utvořili kružnici ze všech lidí, její průměr by byl více než 2,4 milionu kilometrů. To je více, než má oběžná dráha Měsíce! To už není žádná kružnička, ale pořádná kruhusťárna. Dnes si budeme povídat o kruzích. Konkrétně o něčem, co dokážou.

Valit se. Co je to ale valení? Valení je, když se jeden předmět pohybuje vůči jinému a neustále se druhého předmětu dotýká a okamžitá rychlost jejich styčných bodů je rovna nule. To znamená, že pod sebou nepodkluzují. Trajektorii opisované bodem na povrchu valícího se předmětu se v matematice říká ruleta.

To ve francouzštině znamená "kolečko". Při valení po rovině střed kruhu opisuje ruletu tvaru přímky. Proto se kruhy osvědčily jako kola. Po čtvercích by jízda hodně drncala. Ale i středy čtverců můžou na správném povrchu tvořit přímou, rovnou ruletu. Tak fungují čtvercová kola, která jsem si nedávno vyzkoušel v Muzeu matematiky v New Yorku. Stan Wagon napsal o kolech skvělý článek.

Odkaz najdete dole pod videem. Stojí za to. Také vytvořil interaktivní program v rámci Wolfram Demonstration Project, který vám umožňuje navrhnout tvar a pak najít odpovídající tvar cesty, po které se bude moct hladce valit. Křivka opisovaná bodem na kruhu valícím se po přímce má speciální název. Říká se jí trochoida podle řeckého slova pro kolo, "trochos". Trochoidy můžou být vnitřní nebo vnější podle toho, jestli je bod umístěn uvnitř nebo vně kruhu.

Pokud je bod na obvodu kruhu, výsledné křivce říkáme cykloida. Cykloidy jsou velmi zajímavé a věnoval jsem jim i tento díl. Poslední dobou hodně spolupracuji s Adamem Savagem. Spojili jsme síly na Brain Candy Live, našem turné po čtyřiceti městech, kde vás doufám uvidím. Nedávno jsem Adama požádal o pomoc s ruletami.

Adame, máš nějaký oblíbený mnohoúhelník? Mám je rád všechny, jsem jejich velkým fanouškem. Jsou jako tvoje děti, nemůžeš si vybrat. Já taky ne, ale mám oblíbenou činnost, kterou s nimi můžu dělat. A jakou? Cyklogonu. Cyklogona? Něco takového vážně existuje? Je to opravdové.

Nemáš tu někde mnohoúhelník? Tady, tohle je čtverec, že? Řekněme, že je to čtverec. Když si vyberu jeden vrchol tohoto čtverce a začnu ten čtverec valit a sleduješ, kudy ta hrana... sakra! Zkusím to ještě jednou. Trajektorie, kterou ta hrana opisuje, se nazývá cyklogona.

Když to opakuješ s mnohoúhelníky s více vrcholy, dostáváš se blíž k tomu, co po tobě dnes chci. K cykloidě. Mohl jsem to udělat ve Photoshopu a zanimovat to jako obyčejně. Ale ty máš dílnu. Můžeme si to vyrobit. Proč si chci vyrobit cykloidu? Na něco se zeptám.

Kdyby na vás působila jen gravitace, jaká by byla nejrychlejší cesta, po které by se předmět valil nebo klouzal z bodu A do bodu B, který je níž, ale ne přímo pod bodem A. Byla by to přímka? To by jistě byla nejkratší cesta, ale když předmět padá, gravitace ho urychluje. Strmý pád na počátku by tedy znamenal vyšší rychlost během zbytku cesty. Je to výhodnější, přestože je tato cesta mnohem delší než přímka mezi oběma body. Jaká je tedy optimální kombinace krátké vzdálenosti a vyššího zrychlování?

Tato cesta nejkratšího času je řešením problému brachistochrony, a rozhodně to není žádná novinka. Galileo si myslel, že řešením je výseč kružnice. To ale není pravda. V roce 1697 Johannes Bernoulli našel řešení pomocí jednoduchého postupu. Abychom to pochopili, pojďme si prvně říct o podobném problému. Stojíte v bahně a chcete se co nejrychleji dostat k míči na silnici.

Nejkratší cestou by byla přímka, ale když na silnici můžete běžet rychleji než bahnem, cesta nejkratšího času bude ta, kdy poběžíte kratší dobu bahnem a delší dobu na povrchu, kde můžete běžet rychleji. Úhel, pod kterým musíte běžet k silnici závisí na rychlosti pohybu na obou površích. Když je poměr sinů obou úhlů roven poměru rychlostí na obou površích, výsledek bude onou optimální nejrychlejší cestou. Tomu se říká Snellův zákon.

Světlo se vždycky chová podle Snellova zákona. Když se mění jeho rychlost, jako když opouští látku, ve které se pohybuje pomaleji, třeba vodu, do prostředí, kde se pohybuje rychleji, třeba do vzduchu, vždy se láme podle Snellova zákona. Jinými slovy, světlo se vždy pohybuje po cestě, která je nejrychlejší. Bernoulli pomocí tohoto zákona vyřešil problém brachistochrony. Změna rychlosti světla se dá přirovnat ke změně rychlosti padajícího předmětu.

Padající předmět ale nemění rychlost jen jednou. Rychlost se neustále zvyšuje, protože zrychluje. Aby to mohl napodobit světlem, o němž Bernoulli věděl, že ukazuje nejrychlejší cestu, musel přidávat velmi tenké vrstvy, ve kterých je rychlost světla čím dál vyšší. A už víme, jak to dopadlo. Tady ji máme!

Křivka brachistochrona! Cesta nejkratšího času. Skutálejte se po této křivce a vždy předeženete cokoliv, co se valí po jakékoliv jiné cestě. Bernoulli byl chytrý a věděl, že tato křivka má i jiný význam, uvědomil si, že je to vlastně cykloida. Trajektorie bodu na obvodu kruhu, který se valí po přímce. Cykloida je po celé svojí délce v souladu se Snellovým zákonem.

Abyste pochopili proč, doporučuju podívat se na video o problému brachistochrony. Tenhle kanál je skvělý, jsem jejich velkým fanouškem, jejich vysvětlení jsou úžasná. Každopádně cykloida je v perfektní rovnováze mezi co nejkratší cestou a co nejčasnějším zrychlením. Vysvětlil jsem to Adamovi a řekl jsem mu, že by bylo skvělé vyrobit si cykloidu a pouštět po ní předměty. A on řekl: Jdeme se do toho pustit!

Nejprve budeme potřebovat přiměřeně velký kruh. Pak pomocí něj nakreslíme cykloidu. Chtěl bych udělat závod. Podívej se, když máme bod A tady a bod B tady a ty říkáš, že je ta křivka rychlejší než přímka, když po ní něco pustíme. Chtěl bych vyrobit i přímku z A do B... Jo a možná taky nějakou extrémní křivku. Třeba takovou.

Dobrá, tady mám několik kružítek... Ty máš prodlužku na kružítko? Jo, mám spoustu udělátek. To jsem ještě neviděl. To je ono? Tohle se spojí s tímhle a pak se to připojí k tomuhle. Více méně... Mám z toho trochu výčitky. Tímhle si plním svůj velký sen.

- Vážně? - Je to takový nerdovský sen. Není to jako kdybych chtěl svou vlastní vzduchovku. Chci jen křivku, po které můžu kutálet předměty. Dobře, tak až to vyrobíme, bude to můj vánoční dárek pro tebe. Myslím, že už jsem přišel na to, jak to vyrobíme, aby to k něčemu bylo, ale aby to taky nebylo moc složité. Vezmi si nůž a vyřízni ten kruh kousek od okraje.

Co s tím budeš dál dělat? Vyříznu to na pásové pile, jestli to nechceš udělat sám. - Můžeš začít. - Dobře, jdu na to. Hotovo. Je to moc hrubé, tak to ještě trochu zabrousím. - To by mohlo stačit. - Je to dobrý. Teď pomocí toho chceš nakreslit cykloidu.

Přesně. Takže tam vyvrtáme dírku. Jo, musí být přesně na okraji, ne nad ním. Vyvrtám to hned u okraje. Zkazil jsem to. Myslím že ne. Je to lepší, než mít na obvodu zub. Chceme aby se křivka dotýkala okraje.

Dobře, uděláme si nejdřív obrys cykloidy, který pak přenesu na plexisklo. To je průhledné a bude to tedy lépe vidět. Tohle ti umožní nakreslit si cykloidu, tak by to mělo být, že? - Jo, skvěle! - Zatlač mým směrem, ať to nepodklouzne. Je to jako spiritistická tabulka pro geometrické nadšence. To je spiritistická tabulka pro geometrické nadšence! Dobře, máme to.

Brachistochrona! - To je ta křivka, o které jsme mluvili? - Jo! Támhle je začátek, tady konec a to je to, co jsme chtěli. - Jo. - Není to paráda? Je to paráda! Dobře... Postavíme to na... dřevěnou desku, vysokou řekněme 2 cm a v ní budou žlábky, vyříznu je na cirkulárce po celé délce desky.

Do těch žlábků zasadíme ty křivky vyrobené z plexiskla. Upevníme to na zadní stěnu, na které taky budou žlábky vyřezané cirkulárkou. Do toho zasadíme ty křivky, aby byly dobře upevněné. Možná ještě nějakou zarážku na konci.

Abychom mohli slyšet, jak dojedou do cíle. Takže tady budou různé dráhy. Jedna bude cykloida, úsečka a pak ještě extrémní křivka. A ty chceš to plexisklo ohnout do těch tvarů? Ne, bude to jinak, bude se ti to líbit. Do plexiskla vyřízneme naše dráhy.

Bude to jen tenká hrana. Po ní budeme pouštět... mám tady na to někde materiál... ...polyacetalové kotouče. Bude to vypadat takhle. Takhle budou vypadat ze strany. Budou ve tvaru H. A tou rýhou to bude sedět na plexiskle. Ten kotouč sám zapadne na plexisklo a bude se po něm kutálet.

To je ono! Tak se mi to líbí. Ty křivky se mi líbí! Než s Adamem vyrobíme cykloidovou závodní dráhu, pojďme se společně podívat na jiné typy rulet. Jak jsem říkal, trochoidy jsou křivky tvořené kruhem, valícím se po přímce. Epitrochoida vznikne, když se kruh valí vně po obvodu kružnice.

Když se disk valí po vnitřku kružnice, vzniká nám hypotrochoida. Tak se označují křivky, které jste možná v dětství kreslili pomocí spirografů. Všimněte si, že jejich dírky neleží na obvodu disku, přestože některé jsou blízko. Pro epitrochoidy a hypotrochoidy vytvářené body na obvodu máme speciální názvy. Podobně jako u kruhu valícím se po přímce se nazývají epicykloidy a hypocykloidy. Když mají dvě kružnice stejný poloměr, bod na valící se kružnici se dotkne stacionární kružnice vždy na stejném místě.

Vytvoří tak špičku. Tomuhle epicykloidu ve tvaru srdce se říká kardioida. Když má valící se kružnice poloviční poloměr, vznikne epicykloida se dvěma špičkami, které se říká nefroida. Protože zřejmě tvarem připomíná ledvinu. Třetinový poloměr vytvoří tři špičky, čtvrtinový čtyři špičky a tak dál.

Pokud je čtvrtinový poloměr kružnice tvořící hypocykloidu, výsledné křivce se říká asteroida, protože vypadá jako hvězda, což si dříve lidé mysleli i o asteroidech. Třetinový průměr vytvoří deltoidu. Ta je pojmenovaná po své podobnosti řeckému písmenu delta. Při polovičním poloměru je výsledkem úsečka.

Tento zajímavý vztah se označuje jako Tusiho dvojice. Převádí rotační pohyb na lineární. Toho využívá známá iluze, kde se jednotlivé body hýbou po úsečkách, ale dohromady tvoří valící se kružnici. Když k tomu připevníte tyčku, vyrobíte Archimédův elipsograf, který můžete použít k rýsování elips. Taky se to vyrábí jako Hillbilly Entertainment Center, které jsem koupil v Osceole v Missouri.

Teď už se ale vraťme k našemu výrobku na porovnávání křivek. Nalepím sem cílovou pásku. Nádhera! Cílová páska je na místě. - Jsi připravený? - Jsem připravený! Dobře, odpočítám to na tři. Jdeme na to. Tři - dva - jedna - teď! První, druhý, třetí.

Ta prudká byla druhá, úsečka byla poslední. Úsečka byla poslední! Nejkratší cesta k bodu B byla nejpomalejší možností, jak se tam dostat. Jo, bylo to tak. Zkusme to ještě jednou. Bylo to totiž dost těsný. Brachistochrona byla bezpochyby první. Je to ale pořádný jazykolam.

Bra-chis-to-chro-na. Nemá nic společného s brachiosaurem, to je něco úplně jiného. Jendou jsem si vyhledával vztah mezi slovy "ingenuous" a "ingenuity". Zjistil jsem, že nemají nic společného. Tak jo, jsi připravený? Tři - dva - jedna - teď! - Jo. - Stejný výsledek? Stejný výsledek.

- První, druhý a třetí. - Tyhle byly dost těsné. Odpověděli jsme tedy na hlavní otázku, že brachistochrona je nejrychlejší cestou do cíle. Brachistochrona je také známá jako tautochronní křivka. Ta má ještě jednu vlastnost, kterou bychom měli otestovat. Jakou? Je to... Počkej, než půjdeme dál, dokázali jsme, že mezi těmito třemi křivkami je brachistochrona z cykloidy je nejrychlejší.

Je nejrychlejší. Na strmé se brzy zvýší rychlost, ale pak je dlouhý úsek bez jakéhokoliv zrychlení. Když se valí přímo, tak to taky nevyjde. Nejdůležitější je mít perfektní rovnováhu mezi časným zrychlením a krátkou cestou. Je úžasné, jak se dá narýsovat ta křivka, že cykloida tak účinně vyvažuje tyhle parametry.

Jo, protože kdyby k žádnému zrychlení nedocházelo, kdyby působila jen jedna síla na počátku, úsečka by nejspíš byla nejrychlejší. Co je tedy ta druhá vlastnost křivky tautochrony? Právě jsi to řekl! Tautochrona znamená stejný čas. Takže... Jak podle geometrie a matematiky nezáleží na tom, kde na křivce začneš.

- Spadl nám kotouč. - To byla tvoje chyba. Jo, byla to moje chyba. Ten stůl stojí za prd, jsou tady ty vyvýšené okraje. Jo, pěkně mě vytáčí. Takže je to vlastně moje chyba. Dobře, jsem rád, že jsme si to vyjasnili. Já teda vyndám i tu úsečkovou dráhu.

Zbyde nám jen cykloida, které se říká i brachistochrona, ale také má zvláštní vlastnost. Nezáleží, kde se kotouč na počátku nachází, když ho pustím, vždy se dostane na konec za stejnou dobu. Počkej, takže když začnu tady, Bude trvat určitou dobu, než sklouzne dolů, a je to stejná doba, jako když začnu tady?

Jo a stejná doba, jako když začneš odtud. No dobře... Páni, tak jo. Takže když začnu odtud, moc to nepojede kvůli tření. Ale na počítači to dokonale funguje. To je ale nuda. Tohle je skutečný svět.

Možná nebudeme začínat tak nízko. Můžeme začít tady, tady a tady. Myslím, že by to šlo už i odtud. Asi to bude hodně ovlivněné třením, ale uvidíme, jak to půjde. Máme jich dost. Proto jsme taky udělali tři křivky. Všechny tři jsme uřízli a brousili v celku, jsou tedy skoro stejné.

Budeme ještě muset seškrábnout hrany, jako jsem to udělal u téhle. Obrousíme to smirkovým papírem a ještě něčím... Drátěnkou. Víš, že když sloupneš z plexiskla ten papír, dá se dobře zmačkat a můžeš s ním házet jako s míčkem. Jak je ten papír na plexiskle vlastně připevněný?

Dobrá otázka, neviděl jsem, jak to dělají. Zdá se, že to není ničím přilepené. Nějak to udělali, možná je to nějaký typ 3M lepidla. Tohle bude vážně super. Doufám, že jo. Teoreticky by měla být teorie a praxe stejná, ale v praxi... Byl jsem na Univerzitě v Chicagu a jedno jejich moto je: "V praxi to funguje dobře, ale jak je to teoreticky?"

Jsou to ale hlavičky. Takže zkusíme dát jednu sem a ty podrž jednu tady. Ne, uděláme to bez toho držáku. Měl by to udělat jen jeden z nás, aby to bylo opravdu současně. Podej mi ten třetí. Takže máme tři různé startovní pozice.

Tahle je nejdál od cíle a tahle je nejblíž. Která se tedy dostane do cíle první? Uvidíme. Intuice mi říká, že první v cíli bude tahle. Páni! To bylo úžasný! Všechny se potkaly v cíli! Dobře, zkusíme je prohodit.

Tak jo. Musíš je pustit sám, jinak by bylo těžké to správně načasovat. Tři - dva - jedna... Viděl jsem, jak se dohnaly. Jako by na sebe před cílem počkaly. Stoupnu si trochu dál, ať mám lepší výhled. - Připravený? - Jo. Tři - dva - jedna...

No není to paráda? Vážně se v cíli potkaly, jako kdyby všechny začínaly tady nahoře. Takže když si odmyslíme drobné nepřesnosti a nějaké to tření, dorazí do cíle za stejnou dobu, jako když začínají ze stejné výšky. Takže to bylo ze začátku... Je to tvůj vysněný pokus s tautochronní křivkou? Jo, vážně je.

Je to taky můj vysněný pokus s brachistorchonou a zároveň i vysněný pokus s cykloidou. - Koukej na tohle! - Jo, zkus to! To je vážně parádní. A ještě jednou. Teď to bylo úplně přesně. V téhle hře nezáleží na tom, odkud začínáš nebo kdo jsi. Vyhrává každý. Pokaždé je to remíza.

Tohle je potěcha pro můj mozek. Něco, co jsem znal teoreticky a z různých animací, a teď to mám přímo před sebou. Můžu si to odstartovat, odkud se mi zachce. Můžu si na to sáhnout. Proto je Brain Candy taková zábava. Moc rád převádím teorii do praxe. Připadá mi, že jsme dlouho měli podobné nápady a konečně jsme je spojili dohromady.

Jo, je to takové naše děťátko. Možná jeden z nás neumí tak dobře brousit a možná to ten druhý celé zachránil. Ale teď je to skutečné, je to mezi námi a je to tak dobře. - To byla zábava! - Jo, moc jsem se bavil. Mé sny se staly skutečností! Adame, moc ti děkuju za pomoc. Spolupráce s tebou je vždycky úžasná.

Doufám, že se s vámi všemi setkám na Brain Candy Live. Bude to paráda! A snad ve vašem životě narazíte na tautochronu. Řešení, které vás a ostatní přivede dohromady, i když jste každý začali někde jinde. A jako vždycky... Díky za sledování! Překlad: Zarwan www.videacesky.cz