Mapa matematiky

Matematika vyučovaná na školách není k tomuto oboru spravedlivá. Učíme se pouze jednu část, ale matematika je obří a velmi rozmanitá oblast. Chci vám ukázat všechny tyto úžasné oblasti. Začneme na počátku. Původ matematiky leží v počítání. Počítání není jen lidská vlastnost, počítají i jiná zvířata. Důkaz lidského počítání sahá až do pravěku, kdy si dělali zářezy do kostí.

Během let vznikaly mnohé novinky. Egypťané přišli s první rovnicí, starověcí Řekové slavili pokroky v geometrii a numerologii. Záporná čísla vymysleli v Číně a nula jako číslo byla poprvé použita v Indii. Ve zlatém věku islámu perští matematici pokročili a sepsali první knihu o algebře.

Během renesance matematika slavila rozkvět. O dějinách matematiky by se dalo mluvit mnohem více, ale já pokročím k moderní matematice a k tomu, co vše nyní známe. Současná matematika se dá rozdělit do dvou oblastí. Čistá matematika, která studuje matematiku samotnou, a aplikovanou matematiku, která se snaží vyřešit skutečné problémy. Avšak existuje mnoho průsečíků. Mnohokrát v dějinách se někdo vydal do matematické divočiny motivován zvědavostí a veden touho po znalostech.

Poté vytvořil nové odvětví matematiky, které bylo zajímavé, ale nebylo k ničemu užitečné. Avšak o sto let později někdo pracoval na nějakém problému ve fyzice nebo v počítačové vědě a zjistil, že tato stará čistě matematická teorie je přesně to, co potřebuje k vyřešení problému. To je podle mě úžasné.

Během pár posledních staletí se to stalo mnohokrát. Je zajímavé, jak se něco abstraktního ukáže být velmi užitečné. Měl bych ale zmínit, že i samotná čistá matematika je velmi užitečná. Může být fascinující a sama o sobě může být skutečně krásná a elegantní jako umění. Ale dost těchto nabubřelostí. Pusťme se do toho. Čistá matematika se skládá z několika částí.

Studie čísel začíná u přirozených čísel. Můžete s nimi provádět aritmetické operace. Poté jsou tu celá čísla, která zahrnují i negativní čísla, racionální čísla, jako jsou zlomky, reálná čísla, kam patří třeba π, které má nekonečný počet desetinných čísel, a poté komplexní čísla a další druhy čísel. Některá čísla mají zajímavé vlastnosti, jako například prvočísla, π

nebo exponenciální čísla. Tyto číselné systémy mají i zajímavé vlastnosti. Ačkoliv je přirozených a reálných čísel nekonečně mnoho, reálných čísel je mnohem více. Některá nekonečna jsou větší než jiná. Studie struktur bere čísla a umisťuje je do rovnic ve formě proměnných. Algebra obsahuje pravidla, jak manipulovat s těmito rovnicemi. Také zde najdete vektory a matice, což jsou mnohorozměrná čísla. Pravidla, jak spolu reagují, jsou zaznamenána v lineární algebře.

Teorie čísel studuje vše, co se týká předchozích druhů čísel. Například studuje vlastnosti prvočísel. Kombinatorika se zabývá vlastnostmi struktur, jako jsou stromy, grafy a jiné výtvory, které jsou tvořeny z diskrétních spočitatelných částí. Teorie grup se zaměřuje na objekty, které jsou společně v určité grupě. Nejznámějším příkladem je Rubikova kostka, která je příkladem permutační grupy. Teorie uspořádání zkoumá, jak rozmístit objekty podle určitých pravidel.

Například zda je něčeho víc než něčeho jiného. Přirozená čísla jsou příkladem uspořádaných objektů, ale uspořádáno může být cokoliv s obousměrným vztahem. Další část čisté matematiky se zabývá tvary a jejich chováním v prostoru. Nejstarší je geometrie, kterou využíval už Pythagoras a která má blízko k trigonometrii, kterou jistě znáte ze školy. Také sem spadá fraktálová geometrie, matematický vzorec, jehož měřítko se mění.

Můžete si ho neustále přibližovat a vždy bude vypadat podobně. Topologie zkoumá další vlastnosti objektů. Můžete je neustále deformovat, ale ne je přerušovat a spojovat. Möbiova páska má jen jeden povrch a jednu hranu, ať už s ní uděláte cokoliv. Šálky na kávu a donuty jsou z topologického hlediska to samé. Teorie mír má přiřadit hodnoty určitým plochám nebo sadám. Spojuje dohromady čísla a plochy. A diferenciální geometrie zkoumá vlastnosti tvarů na zakřiveném povrchu.

Například trojúhelníky mají na zakřivených površích jiné úhly. To nás přivádí k oblasti změn. Studium změn zahrnuje kalkulus, kam spadá integrální a diferenciální počet. Zkoumá oblast vytvořenou funkcí nebo chování tvaru křivky. Vektorový kalkulus zkoumá to samé, ale jen u vektorů. Také tu najdeme další oblasti. Dynamické systémy zkoumají systémy, které postupně přechází z jednoho stavu do jiného.

Patří sem proudění tekutin nebo věci se zpětnovazební smyčkou jako ekosystémy. Teorie chaosu zkoumá dynamické systémy, jejichž výsledky se liší podle počátečních podmínek. Komplexní analýza zkoumá vlastnosti funkcí s komplexními čísly. Tím se dostáváme k aplikované matematice. Měl bych zmínit, že vše je více propojené, než jak to kreslím. Ve skutečnosti by mapa měla vypadat jako pavučina, která by spojovala všechny oblasti. Ale na dvourozměrném prostoru to lépe nenakreslím.

Začneme fyzikou, která v určité míře využívá vše, co jste viděli nalevo. Matematická a teoretická fyzika jsou velmi blízké čisté matematice. Matematika se užívá i v jiných přírodních vědách jako je matematická chemie a biomatematika. Zahrnuje to věci jako modelování molekul nebo evoluční biologii. Matematika je velmi využívána v inženýrství. Stavba budov využívá matematiku už od dob Egypta nebo Babylonu. Velmi komplexní elektrické systémy, například letadla nebo rozvodná síť, využívají metody dynamických systémů zvané teorie řízení.

Numerická analýza je matematický nástroj, který se využívá ve chvíli, kdy je problém příliš složitý na to, aby se dal plně vyřešit. Místo toho využívá symbolické odhady a kombinuje je, aby vznikly dostatečně přesné odpovědi. Když umístíte kruh do čtverce, hodíte tím směrem šipky a poté porovnáte počet šipek v kruhu s počtem ve čtverci, dokážete přibližně odhadnout hodnotu π.

Ve skutečném světě numerickou analýzu provádějí počítače. Teorie her určuje, jaké jsou nejlepší volby, když máme soubor pravidel a racionálních hráčů. Používá se v ekonomice, kde hráči mohou být inteligentní, ale ne vždy, a v oblastech psychologie a biologie. Pravděpodobnost studuje náhodné události jako hody mincí, kostkami nebo chování lidí. Statistika studuje velkou sbírku náhodný procesů nebo organizuje a analyzuje data.

Je to spojeno s matematickým finančnictvím, které modeluje finanční systémy a snaží se zjistit, kdy můžete vydělat. Příbuzná je optimalizace, kde se snažíte vypočítat nejlepší možnost z mnoha. Běžně se to vizualizuje jako nalezení nejvyššího a nejnižšího místa funkce. Optimalizace je nám lidem přirozená, provádíme ji neustále. Snažíme nejlepší poměr peníze/kvalita nebo se snažíme zvýšit naši spokojenost.

Další oblastí hluboce spojenou s čistou matematikou je počítačová věda. Pravidla počítačové vědy jsou vyvozeny z čisté matematiky a jsou dalším příkladem něčeho, co bylo objeveno dávno před programovacími jazyky. Programové učení, vytváření inteligentních systémů, využívá mnoho oblastí matematiky. Lineární algebru, optimalizaci, dynamické systémy a pravděpodobnost. Pro počítače je velmi důležitá teorie kryptografie.

Využívá mnoho oblastí čisté matematiky, například kombinatoriku a teorii čísel. To pokrývá nejdůležitější části čisté a aplikované matematiky. Ale nakonec se musím podívat na základy matematiky. Tato oblast se snaží přijít na vlastnosti samotné matematiky. Chce zjistit, kde leží základ veškeré matematiky. Existuje soubor základních pravidel zvaný axiomy, ze kterých celá matematika vychází? Můžeme dokázat, že vše je to v souladu?

To snaží dokázat matematická logika, teorie množin a teorie kategorií. Nejznámějším výsledkem matematické logiky jsou Gödelovy věty o neúplnosti. Většina lidí je chápe tak, že matematika nemá soubor axiomů, kterou jsou ve vzájemném souladu. To znamená, že je to celé tak trochu vymyšlené námi lidmi. Je to zvláštní, když matematika vysvětluje tolik dění ve vesmíru. Proč by to něco vymyšleného mělo dokázat? To je jedna obří záhada.

Také tu je výpočetní teorie, která se zabývá různými modely výpočtů a zjišťuje, jak efektivně dokáží problém vyřešit. Je tu i komplexita, která zjišťuje, co je a co není spočitatelné. Kolik paměti a času byste potřebovali, což u těch zajímavých problémů dosahuje absurdních hodnot. Toto je mapa matematiky. Na učení matematiky nejvíce miluji ten pocit, když se podíváte na něco tak zdánlivě matoucího a konečně vám to v mozku sepne.

Vše dává smysl. Je to jako zjevení. Jako byste prohlédli Matrix. Mé nejlepší intelektuální momenty pramení z chvilek, když jsem porozuměl části matematiky a měl jsem pocit, že konečně chápu část podstaty vesmíru s jeho symetrickou krásou.

Je to prostě úžasné. Překlad: Mithril www.videacesky.cz