Mapa matematiky

Matematika vyučovaná na školách
není k tomuto oboru spravedlivá. Učíme se pouze jednu část, ale matematika je obří
a velmi rozmanitá oblast. Chci vám ukázat všechny
tyto úžasné oblasti. Začneme na počátku. Původ matematiky leží v počítání. Počítání není jen lidská vlastnost,
počítají i jiná zvířata. Důkaz lidského počítání sahá až do pravěku, kdy si dělali zářezy do kostí.

Během let vznikaly mnohé novinky. Egypťané přišli s první rovnicí, starověcí Řekové slavili
pokroky v geometrii a numerologii. Záporná čísla vymysleli v Číně a nula jako číslo byla
poprvé použita v Indii. Ve zlatém věku islámu
perští matematici pokročili a sepsali první knihu o algebře.

Během renesance matematika slavila rozkvět. O dějinách matematiky by
se dalo mluvit mnohem více, ale já pokročím k moderní
matematice a k tomu, co vše nyní známe. Současná matematika
se dá rozdělit do dvou oblastí. Čistá matematika,
která studuje matematiku samotnou, a aplikovanou matematiku,
která se snaží vyřešit skutečné problémy. Avšak existuje mnoho průsečíků. Mnohokrát v dějinách
se někdo vydal do matematické divočiny motivován zvědavostí
a veden touho po znalostech.

Poté vytvořil nové odvětví matematiky, které bylo zajímavé,
ale nebylo k ničemu užitečné. Avšak o sto let později někdo pracoval na nějakém problému ve fyzice
nebo v počítačové vědě a zjistil, že tato stará
čistě matematická teorie je přesně to,
co potřebuje k vyřešení problému. To je podle mě úžasné.

Během pár posledních
staletí se to stalo mnohokrát. Je zajímavé, jak se něco
abstraktního ukáže být velmi užitečné. Měl bych ale zmínit, že i samotná
čistá matematika je velmi užitečná. Může být fascinující a sama o sobě může být skutečně krásná a elegantní jako umění. Ale dost těchto nabubřelostí. Pusťme se do toho. Čistá matematika
se skládá z několika částí.

Studie čísel začíná u přirozených čísel. Můžete s nimi provádět
aritmetické operace. Poté jsou tu celá čísla,
která zahrnují i negativní čísla, racionální čísla, jako jsou zlomky, reálná čísla, kam patří třeba π,
které má nekonečný počet desetinných čísel, a poté komplexní čísla a další druhy čísel. Některá čísla mají zajímavé vlastnosti, jako například prvočísla,
π

nebo exponenciální čísla. Tyto číselné systémy mají
i zajímavé vlastnosti. Ačkoliv je přirozených
a reálných čísel nekonečně mnoho, reálných čísel je mnohem více. Některá nekonečna jsou větší než jiná. Studie struktur bere čísla a umisťuje
je do rovnic ve formě proměnných. Algebra obsahuje pravidla,
jak manipulovat s těmito rovnicemi. Také zde najdete vektory a matice,
což jsou mnohorozměrná čísla. Pravidla, jak spolu reagují,
jsou zaznamenána v lineární algebře.

Teorie čísel studuje vše,
co se týká předchozích druhů čísel. Například studuje vlastnosti prvočísel. Kombinatorika se zabývá vlastnostmi struktur, jako jsou stromy, grafy a jiné výtvory, které jsou tvořeny
z diskrétních spočitatelných částí. Teorie grup se zaměřuje na objekty,
které jsou společně v určité grupě. Nejznámějším příkladem je Rubikova kostka,
která je příkladem permutační grupy. Teorie uspořádání zkoumá,
jak rozmístit objekty podle určitých pravidel.

Například zda je něčeho
víc než něčeho jiného. Přirozená čísla jsou
příkladem uspořádaných objektů, ale uspořádáno může být
cokoliv s obousměrným vztahem. Další část čisté matematiky
se zabývá tvary a jejich chováním v prostoru. Nejstarší je geometrie,
kterou využíval už Pythagoras a která má blízko k trigonometrii,
kterou jistě znáte ze školy. Také sem spadá fraktálová geometrie, matematický vzorec,
jehož měřítko se mění.

Můžete si ho neustále přibližovat
a vždy bude vypadat podobně. Topologie zkoumá další vlastnosti objektů. Můžete je neustále deformovat,
ale ne je přerušovat a spojovat. Möbiova páska má jen jeden povrch
a jednu hranu, ať už s ní uděláte cokoliv. Šálky na kávu a donuty
jsou z topologického hlediska to samé. Teorie mír má přiřadit hodnoty
určitým plochám nebo sadám. Spojuje dohromady čísla a plochy. A diferenciální geometrie zkoumá
vlastnosti tvarů na zakřiveném povrchu.

Například trojúhelníky mají
na zakřivených površích jiné úhly. To nás přivádí k oblasti změn. Studium změn zahrnuje kalkulus,
kam spadá integrální a diferenciální počet. Zkoumá oblast vytvořenou funkcí nebo chování tvaru křivky. Vektorový kalkulus zkoumá to samé,
ale jen u vektorů. Také tu najdeme další oblasti. Dynamické systémy zkoumají systémy, které
postupně přechází z jednoho stavu do jiného.

Patří sem proudění tekutin nebo věci
se zpětnovazební smyčkou jako ekosystémy. Teorie chaosu zkoumá dynamické systémy, jejichž výsledky se liší
podle počátečních podmínek. Komplexní analýza zkoumá
vlastnosti funkcí s komplexními čísly. Tím se dostáváme k aplikované matematice. Měl bych zmínit, že vše je
více propojené, než jak to kreslím. Ve skutečnosti by mapa měla vypadat jako
pavučina, která by spojovala všechny oblasti. Ale na dvourozměrném prostoru
to lépe nenakreslím.

Začneme fyzikou, která v určité míře
využívá vše, co jste viděli nalevo. Matematická a teoretická fyzika
jsou velmi blízké čisté matematice. Matematika se užívá
i v jiných přírodních vědách jako je matematická chemie
a biomatematika. Zahrnuje to věci jako modelování
molekul nebo evoluční biologii. Matematika je velmi
využívána v inženýrství. Stavba budov využívá matematiku
už od dob Egypta nebo Babylonu. Velmi komplexní elektrické systémy,
například letadla nebo rozvodná síť, využívají metody dynamických systémů
zvané teorie řízení.

Numerická analýza je matematický nástroj, který se využívá ve chvíli, kdy je problém
příliš složitý na to, aby se dal plně vyřešit. Místo toho využívá symbolické odhady a kombinuje je,
aby vznikly dostatečně přesné odpovědi. Když umístíte kruh do čtverce,
hodíte tím směrem šipky a poté porovnáte počet šipek
v kruhu s počtem ve čtverci, dokážete přibližně
odhadnout hodnotu π.

Ve skutečném světě
numerickou analýzu provádějí počítače. Teorie her určuje,
jaké jsou nejlepší volby, když máme soubor pravidel
a racionálních hráčů. Používá se v ekonomice, kde hráči
mohou být inteligentní, ale ne vždy, a v oblastech psychologie a biologie. Pravděpodobnost studuje náhodné události
jako hody mincí, kostkami nebo chování lidí. Statistika studuje
velkou sbírku náhodný procesů nebo organizuje a analyzuje data.

Je to spojeno
s matematickým finančnictvím, které modeluje finanční systémy a snaží se zjistit, kdy můžete vydělat. Příbuzná je optimalizace, kde se snažíte vypočítat
nejlepší možnost z mnoha. Běžně se to vizualizuje jako nalezení
nejvyššího a nejnižšího místa funkce. Optimalizace je nám lidem přirozená,
provádíme ji neustále. Snažíme nejlepší poměr peníze/kvalita
nebo se snažíme zvýšit naši spokojenost.

Další oblastí hluboce spojenou
s čistou matematikou je počítačová věda. Pravidla počítačové vědy
jsou vyvozeny z čisté matematiky a jsou dalším příkladem něčeho, co bylo objeveno dávno
před programovacími jazyky. Programové učení,
vytváření inteligentních systémů, využívá mnoho oblastí matematiky. Lineární algebru, optimalizaci,
dynamické systémy a pravděpodobnost. Pro počítače je velmi důležitá
teorie kryptografie.

Využívá mnoho oblastí čisté matematiky,
například kombinatoriku a teorii čísel. To pokrývá nejdůležitější části čisté
a aplikované matematiky. Ale nakonec se musím
podívat na základy matematiky. Tato oblast se snaží přijít
na vlastnosti samotné matematiky. Chce zjistit,
kde leží základ veškeré matematiky. Existuje soubor základních
pravidel zvaný axiomy, ze kterých celá matematika vychází? Můžeme dokázat, že vše je to v souladu?

To snaží dokázat matematická logika,
teorie množin a teorie kategorií. Nejznámějším výsledkem matematické logiky
jsou Gödelovy věty o neúplnosti. Většina lidí je chápe tak, že matematika nemá soubor axiomů,
kterou jsou ve vzájemném souladu. To znamená, že je to celé
tak trochu vymyšlené námi lidmi. Je to zvláštní, když matematika
vysvětluje tolik dění ve vesmíru. Proč by to něco vymyšleného mělo dokázat? To je jedna obří záhada.

Také tu je výpočetní teorie,
která se zabývá různými modely výpočtů a zjišťuje, jak efektivně
dokáží problém vyřešit. Je tu i komplexita, která zjišťuje,
co je a co není spočitatelné. Kolik paměti a času byste potřebovali, což u těch zajímavých problémů
dosahuje absurdních hodnot. Toto je mapa matematiky. Na učení matematiky nejvíce miluji ten pocit, když se podíváte na něco
tak zdánlivě matoucího a konečně vám to v mozku sepne.

Vše dává smysl.
Je to jako zjevení. Jako byste prohlédli Matrix. Mé nejlepší intelektuální
momenty pramení z chvilek, když jsem porozuměl části matematiky a měl jsem pocit, že konečně
chápu část podstaty vesmíru s jeho symetrickou krásou.

Je to prostě úžasné. Překlad: Mithril
www.videacesky.cz