Collatzova domněnka

Jeff Lagarias,
matematik, kterého obdivuji, si myslí, že je to jeden
z nejsložitějších problémů. Erdos řekl: "Matematici nejsou
na tento problém připraveni." Je to problém, kterému by
dokázal porozumět každý čtvrťák. Na příkladu vám ukážu, jak to funguje. Brady, vyber si číslo mezi 1 a 10. Vyberu si 7. Začneme sedmičkou.

Použiji dvě pravidla podle toho,
jaké číslo budu mít. Budu to dělat v krocích. Pokud je n sudé,
vezmu ho a vydělím 2. Pokud je n liché, tak ho nemůžu dělit,
protože bych nezískal celé číslo, takže ho vynásobím 3 a přičtu 1. Zajímá mě, co se bude dít. Poroste to do nekonečna?
Bude se zmenšovat? Uvidíme, co sedmička udělá.

7 je liché číslo,
takže ho vynásobím 3 a přičtu 1. 3 krát 7 je 21,
přičtu 1 a je to 22. Mám 22. 22 je sudé,
takže ho vydělím 2 a získám 11. 11 je liché, vynásobím ho 3
a přičtu 1, takže získám 34. 34 je sudé, takže ho vydělím 2 a získám 17. Prozatím to roste a klesá. Ale 34 bylo nejvyšší číslo,
takže možná to poroste do nekonečna.

17 je liché. Vynásobím ho 3.
3 krát 10 je 30, 3 krát 7 je 21, to je 51 plus 1, bude to 52. Vydělím ho 2 a získám 26. Opět sudé, vydělím ho 2 a získám 13. Vynásobím ho 3 a přidám 1, to bude 40. 40 je sudé. Vydělím ho, získám 20,
znovu vydělím, získám 10.

ještě jednou ho vydělím
a získám 5, tohle bylo dlouhé. Možná se číslo bude zmenšovat. Vynásobím ho 3 a přidám 1
čímž získám 16. Páni, 16 je velmi sudé číslo. Získám 8, získám 4, získám 2 a získám 1. Pokud budu pokračovat,
stane se něco zajímavého. 3 krát 1 plus 1 jsou 4.

Jsem zase u 4
a jsem zaseknutý ve smyčce. Točím se pořád dokola. Dostal jsem 1.
7 mi dala 1. Lidé tímto způsobem
ozkoušeli spoustu čísel. Všechna ozkoušená se dostala k 1. Zkusili zhruba 2 na šedesátou čísel,
to je skoro 10 na dvacátou. Slavná Collatzova domněnka říká, že každé celé číslo
se nakonec dostane k 1.

O tomto problému
byla sepsána spousta prací kombinatoriky a teoretiky čísel. Toto je problém,
na který matematici možná nejsou připraveni, ale každý čtvrťák si
s tím může hrát a zkoušet to. Může zkoušet čísla. Nejprve musíme pochopit,
co se to vlastně děje, abychom mohli s jistotou říct, že každé číslo, které bychom zkusili,
se dostane k jedničce.

Můžeme to testovat na počítači,
můžete si tak otestovat svůj počítač. Jak rychlý program dokážete napsat? Dám vám radu. Kdykoliv vynásobím liché číslo trojkou
a přičtu 1, získám sudé číslo. Proč neprovést dva kroky najednou. 3 krát n plus 1, celé děleno dvěma. Pro lichá čísla jsem
spojil tyto dva kroky. Tohle to trochu urychlí
a existují i další triky.

Lidé z tohoto tvoří grafy,
kterým říkají stromy. Všechna tato čísla směřují k 1. Můžeme začít jiným číslem. Pokud začneme pětkou,
už víme, jaká bude odpověď. Pro všechna tato čísla
už odpověď známe. Nemusíme to počítat znovu. Jaké je první číslo,
které se zde neobjevuje? Myslím, že je to 6.


Zkusíme 6? - Do toho.
- Do toho. Dobře, šestka. 6 je sudá, takže získáme 3. Pak získáme 10. 10 tu už tu máme,
takže 3 napojíme do stromu. Začínám budovat svůj strom. Už tu mám všechna čísla až do 7. Vlastně až do 8.

Ale 9 tu nevidím. - Mám tu 9?
- Nevidím ji tu. Zkusíme teda 9. Dobře, 9 je liché číslo. 3 krát 9 plus 1 je 28. 28, 14 a potom 7. Tady je moje 7. Napojuje se to na 7.

Můžu takhle tvořit svůj strom. Nemusím to počítat znovu.
Vím, co se stane. Pokud se podíváte na obálku této knihy, je na ní podobný strom. Lidé vytvořili obří číselné stromy. Na Wikipedii najdete skvělý článek,
kde jsou k tomu i skvělé obrázky. Tahle řada uprostřed
se zdá být velmi důležitá. Ano, tohle je jako třetí kolejnice.

Jakmile se na ni napojíte,
míříte přímo k 1. Tento problém má i další název. Kroupový problém. Důvodem je,
že když se kroupy v mracích formují a stávají se čím dál většími, začnou klesat, vítr je vyvane vzhůru,
nabalí další led a zase klesnou. Mnohokrát vystoupají vzhůru a klesnou dolů,
až nakonec spadnou na zem. Dokud nejsou dost velké,
nespadnou na zem.

Jako tato čísla. Zcela náhodně stoupají a klesají, až nakonec spadnou k jedničce. A co s tímto lidé dokážou udělat? Například lámat rekordy. Sedmička mi dala dlouhý řetězec. Jaké je další číslo větší než 7,
které mi dá delší řetězec? 8 to není, ta je tady dole.

Už to víme, je to 9,
která se pak napojuje na 7. A jaké je další číslo? Můžete se podívat na online encyklopedii
celočíselných sekvencí, které jsou dobrým zdrojem. Najdete tam tabulku rekordních čísel. Také tam najdete tabulku čísel,
kterým nejdéle trvá, než se dostanou k 1. Mám tu pár úžasných příkladů. Nejdelší řetězec
pro číslo pod 100 milionů, lidé tohle vše vědí, je 63 728 127.

Cesta k číslu 1 od něj zabere 949 kroků. Vsadím se,
že osoba, která to objevila, si možná myslela, že našla číslo,
které se liší od ostatních, ale ne. Existuje spousta záznamů,
lidé to všechno spočítali. Hledali vzory, které by nám
pomohly pochopit, co se to děje. Náhodnost nám to velmi ztěžuje. Nevidíme žádný vzor.

Ať už se snažíte sebevíc,
vzor se zdá být prchavý. Vypaří se, když se na to podíváte blíže. Podle vzoru se vždy
dostaneme k 1, to je jisté. Ale netušíme, proč tomu tak je. Překlad: Mithril
www.videacesky.cz