Collatzova domněnka

Thumbnail play icon
91 %
Tvoje hodnocení
Počet hodnocení:142
Počet zobrazení:8 054

Collatzova domněnka (anglicky The Collatz conjecture) je matematický problém, který nadnesl v roce 1937 německý matematik Lothar Collatz. Pokud jakékoliv číslo vystavíte dvěma speciálním podmínkám, vždy nakonec získáte stejný výsledek. Jaké podmínky to jsou a jaký je s touto domněnkou problém?

Přepis titulků

Jeff Lagarias, matematik, kterého obdivuji, si myslí, že je to jeden z nejsložitějších problémů. Erdos řekl: "Matematici nejsou na tento problém připraveni." Je to problém, kterému by dokázal porozumět každý čtvrťák. Na příkladu vám ukážu, jak to funguje. Brady, vyber si číslo mezi 1 a 10. Vyberu si 7. Začneme sedmičkou.

Použiji dvě pravidla podle toho, jaké číslo budu mít. Budu to dělat v krocích. Pokud je n sudé, vezmu ho a vydělím 2. Pokud je n liché, tak ho nemůžu dělit, protože bych nezískal celé číslo, takže ho vynásobím 3 a přičtu 1. Zajímá mě, co se bude dít. Poroste to do nekonečna? Bude se zmenšovat? Uvidíme, co sedmička udělá.

7 je liché číslo, takže ho vynásobím 3 a přičtu 1. 3 krát 7 je 21, přičtu 1 a je to 22. Mám 22. 22 je sudé, takže ho vydělím 2 a získám 11. 11 je liché, vynásobím ho 3 a přičtu 1, takže získám 34. 34 je sudé, takže ho vydělím 2 a získám 17. Prozatím to roste a klesá. Ale 34 bylo nejvyšší číslo, takže možná to poroste do nekonečna.

17 je liché. Vynásobím ho 3. 3 krát 10 je 30, 3 krát 7 je 21, to je 51 plus 1, bude to 52. Vydělím ho 2 a získám 26. Opět sudé, vydělím ho 2 a získám 13. Vynásobím ho 3 a přidám 1, to bude 40. 40 je sudé. Vydělím ho, získám 20, znovu vydělím, získám 10.

ještě jednou ho vydělím a získám 5, tohle bylo dlouhé. Možná se číslo bude zmenšovat. Vynásobím ho 3 a přidám 1 čímž získám 16. Páni, 16 je velmi sudé číslo. Získám 8, získám 4, získám 2 a získám 1. Pokud budu pokračovat, stane se něco zajímavého. 3 krát 1 plus 1 jsou 4.

Jsem zase u 4 a jsem zaseknutý ve smyčce. Točím se pořád dokola. Dostal jsem 1. 7 mi dala 1. Lidé tímto způsobem ozkoušeli spoustu čísel. Všechna ozkoušená se dostala k 1. Zkusili zhruba 2 na šedesátou čísel, to je skoro 10 na dvacátou. Slavná Collatzova domněnka říká, že každé celé číslo se nakonec dostane k 1.

O tomto problému byla sepsána spousta prací kombinatoriky a teoretiky čísel. Toto je problém, na který matematici možná nejsou připraveni, ale každý čtvrťák si s tím může hrát a zkoušet to. Může zkoušet čísla. Nejprve musíme pochopit, co se to vlastně děje, abychom mohli s jistotou říct, že každé číslo, které bychom zkusili, se dostane k jedničce.

Můžeme to testovat na počítači, můžete si tak otestovat svůj počítač. Jak rychlý program dokážete napsat? Dám vám radu. Kdykoliv vynásobím liché číslo trojkou a přičtu 1, získám sudé číslo. Proč neprovést dva kroky najednou. 3 krát n plus 1, celé děleno dvěma. Pro lichá čísla jsem spojil tyto dva kroky. Tohle to trochu urychlí a existují i další triky.

Lidé z tohoto tvoří grafy, kterým říkají stromy. Všechna tato čísla směřují k 1. Můžeme začít jiným číslem. Pokud začneme pětkou, už víme, jaká bude odpověď. Pro všechna tato čísla už odpověď známe. Nemusíme to počítat znovu. Jaké je první číslo, které se zde neobjevuje? Myslím, že je to 6.

Zkusíme 6? - Do toho. - Do toho. Dobře, šestka. 6 je sudá, takže získáme 3. Pak získáme 10. 10 tu už tu máme, takže 3 napojíme do stromu. Začínám budovat svůj strom. Už tu mám všechna čísla až do 7. Vlastně až do 8.

Ale 9 tu nevidím. - Mám tu 9? - Nevidím ji tu. Zkusíme teda 9. Dobře, 9 je liché číslo. 3 krát 9 plus 1 je 28. 28, 14 a potom 7. Tady je moje 7. Napojuje se to na 7.

Můžu takhle tvořit svůj strom. Nemusím to počítat znovu. Vím, co se stane. Pokud se podíváte na obálku této knihy, je na ní podobný strom. Lidé vytvořili obří číselné stromy. Na Wikipedii najdete skvělý článek, kde jsou k tomu i skvělé obrázky. Tahle řada uprostřed se zdá být velmi důležitá. Ano, tohle je jako třetí kolejnice.

Jakmile se na ni napojíte, míříte přímo k 1. Tento problém má i další název. Kroupový problém. Důvodem je, že když se kroupy v mracích formují a stávají se čím dál většími, začnou klesat, vítr je vyvane vzhůru, nabalí další led a zase klesnou. Mnohokrát vystoupají vzhůru a klesnou dolů, až nakonec spadnou na zem. Dokud nejsou dost velké, nespadnou na zem.

Jako tato čísla. Zcela náhodně stoupají a klesají, až nakonec spadnou k jedničce. A co s tímto lidé dokážou udělat? Například lámat rekordy. Sedmička mi dala dlouhý řetězec. Jaké je další číslo větší než 7, které mi dá delší řetězec? 8 to není, ta je tady dole.

Už to víme, je to 9, která se pak napojuje na 7. A jaké je další číslo? Můžete se podívat na online encyklopedii celočíselných sekvencí, které jsou dobrým zdrojem. Najdete tam tabulku rekordních čísel. Také tam najdete tabulku čísel, kterým nejdéle trvá, než se dostanou k 1. Mám tu pár úžasných příkladů. Nejdelší řetězec pro číslo pod 100 milionů, lidé tohle vše vědí, je 63 728 127.

Cesta k číslu 1 od něj zabere 949 kroků. Vsadím se, že osoba, která to objevila, si možná myslela, že našla číslo, které se liší od ostatních, ale ne. Existuje spousta záznamů, lidé to všechno spočítali. Hledali vzory, které by nám pomohly pochopit, co se to děje. Náhodnost nám to velmi ztěžuje. Nevidíme žádný vzor.

Ať už se snažíte sebevíc, vzor se zdá být prchavý. Vypaří se, když se na to podíváte blíže. Podle vzoru se vždy dostaneme k 1, to je jisté. Ale netušíme, proč tomu tak je. Překlad: Mithril www.videacesky.cz

Komentáře (35)

Zrušit a napsat nový komentář

Odpovědět

42

To mi z matiky stačí. Víc není třeba ;-)

63

Odpovědět

Ked som bol minule zhribovany tiez mi vysla jednotka... Vsetci sme na jednej lodi. All in all is all we are ;)

01

Odpovědět

osobně si myslím že tímto postupem každé číslo skončí jedničkou, ono taky jakým jiným číslem by mělo skončit? jen z tohodle videa víme že to číslo (pokud existuje) nebude menší než 100 000 000. Ale celkově mi příjde že je to takovej malichernej problém :D

313

Odpovědět

Aby existovalo číslo pro které není výsledkem číslo 1, tak by těchto čísel muselo existovat nekonečně mnoho... tím neříkám, že to tak není

32

Odpovědět

Ano, musel by vzniknou cyklus i pomocí "reverzního" postupu.

00

Odpovědět

To je náhodou dost dobrá úvaha! Zajímaly by mě důvody lidí, kteří dali palec dolů.

11

Odpovědět

Problému rozumím, problematice posloupností taky, ale stejně nechápu, co je na tomhle problému tak znervózňující? Proč si tohle vysloužilo vlastní video? Co víc by matematici chtěli o tomhle problému vědět?

133

Odpovědět

Třeba odpověď na dotaz, zda existuje číslo, pro které není konečným výsledkem posloupnosti jedna?

60

Odpovědět

Tvorba stromů se asi ale provádí odzadu, protože to je jednodušší. Začnu číslem 1 a provedu dvě operace:
1*2=2
1-1/3=0
A ověřím, jestli jde o přirozené číslo. Pokud ano, provádím na něm opět obě operace. Největší problém v důkazu vidím v tom, jak jinak ověřit než spočítat, že daná funkce dá v nějakém bodě právě přirozené číslo? Podobné jako s nulovými body...

13

Odpovědět

1-1/3=0 je chybně
správně je 1-1/3 = 0,6 (periodických) ... tedy pokud hodláte dodržovat matematická pravidla, jako například to, že dělení má přednost před sčítáním a odčítáním...

50

Odpovědět

34 je sudé číslo

10

Odpovědět

1:12

10

Odpovědět

Opraveno. Díky.

10

Odpovědět

Malinká chybička v tom čísle s nejdelším rozvětvením, v ttulkach je 60..... milionů a ma to byt 63.... milionů

Nicméně zajímavý matematický nešvar .-)

00

Odpovědět

Opraveno. Díky. ;-)

00

Odpovědět

netreba nasobit x3, staci k neparnemu priratat +1, ale asi by to stratilo potom to kuzlo :)

09

Odpovědět

Nestačí, protože pak by to nebyla nevyřešená otázka moderní matematiky, nýbrž triviální cvičení matematických důkazů.
Operaci n+1 můžeme nahradit operací (n+1)/2, analogicky (3n+1)/2. V prvním případě je výsledná posloupnost klesající, tj. pro každé číslo platí, že bude výsledek nižší, než původní číslo. S výjimkou 1, ta se zacyklí sama na sobě. Je tedy zřejmé, že v nekonečném počtu kroků dostaneme pro všechny čísla 1. Ale druhá posloupnost je rostoucí, celková posloupnost klesne jen tehdy, obsahuje li sudé číslo. Což nemusí být nutně splněno, a posloupnost bude divergovat. Případně může zahrnovat i sudá čísla taková, že začnou oscilovat kolem jiné hodnoty (vznikne jiný cyklus).

90

Odpovědět

+komunard"...celková posloupnost klesne jen tehdy, obsahuje li sudé číslo. Což nemusí být nutně splněno"..."
v okamihu ked neparne/ liche cislo vynasobis neparnym/lichym cislom (v tomto pripade 3) a priratas +1 tak ti urcite vyjde sude/parne cislo, takze to bude nutne splneno a my mozme dalej delit dvojkou

20

Odpovědět

+marshaall16Vámi citovaná věta se vztahuje k modifikované posloupnosti, zahrnující nejen navýšení, ale i následné vydělení. I po něm bude výsledek vyšší než původní číslo a o jeho paritě nevíme obecně nic.

10

Odpovědět

+komunarduz mi to je jasne, ty si generator nahodnych slov

13

Odpovědět

+marshaall16Aha, já jsem generátor náhodných slov. Proč používáte urážek? Protože uznat, že jste se přehlédl, což se stane každému, by asi znamenalo ztrátu prestiže?

30

Odpovědět

+komunardnic som neprehliadol, jednoducho v tom nevidim zadnu zahadu ale prostu logiku (v skratke)

02

Odpovědět

+marshaall16V čem? V tom, že se (3n+1)/2 chová jinak, než (n+1)/2? To žádná záhada není.
Záhada je právě to, že ačkoli se něco nabízí "prostou logikou" tak pro to ani velmi složité matematické teorie nemají žádný důkaz. A důkaz je to, co dělá matematiku matematikou.

20

Odpovědět

Přestalo by to stoupat, nikdy by jsi se nedostal na větší číslo než počáteční číslo +1, jak říkáš ztratilo by to kouzlo

90

Odpovědět

Nechápu tu neznalost důvodu. V podstatě generuje nové čísla tak dlouho, dokud není výsledkem nějaká mocnina dvojky, což je jen otázka času.
Pravděpodobně by šlo přepsat pravidla i pro řadu trojkových mocnin či jiných. Jen je díky četnosti sudých čísel asi zajištěna konvergence k jedničce.

64

Odpovědět

To, že tato posloupnost musí vést k nějaké mocnině dvojky, je nějak dokázáno? Nebo to jen hádáte?

100

Odpovědět

+komunardNo, původně jsem chtěl napsat příspěvek, ve kterém bych se zastal teorie druhých mocnin, kvůli možnosti, že by se pro jakékoliv liché číslo našla vyšší mocnina dvojky kvůli nekonečnosti celých čísel, ale když jsem se nad tím pdrobněji zamyslel, začal jsem ztrácet jistotu, že je vyloučena možnost zacyklení u těch velkých. U malých je to celkem jasné, tam je zřejmé, že se vždy musí najít nějaká vyšší mocnina, ale co vyšší čísla? Nenapadá mě bohužel žádná zákonitost, která by vyloučila vznik cyklu pro větší čísla. Na to bych se musel asi podívat o dost podrobněji.

Ze začátku to vypadalo jako celkem jednoduchý problém :-)

60

Odpovědět

+komunardMocniny dvojky jsou právě "tou dálnici/páteří", která vždy končí v jedničce.

30

Odpovědět

promiňte, ale v čem je tedy ten problém?

133

Odpovědět

Problém je v tom, že ačkoli se domníváme, že každé číslo dříve nebo později skončí u jedničky, ještě nikomu se to nepodařilo dokázat.

200

Odpovědět

Přeložili byste i to druhé video, moc prosím? (https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_3670309559&feature=iv&src_vid=5mFpVDpKX70&v=O2_h3z1YgEU)
Odpovídá na mnoho mých otázek, ale nerozumím úplně všemu. Já jen, kdybyste si na to náhodou našli čas. :)
Mockrát děkuji za překlad.

80

Odpovědět

Pořád jednodušší než pochopit ženy.

373

Odpovědět

tohle používá logiku, takže je to zákonitě jednodušší

330

Odpovědět

Což o to, vědci už pochopili nejtajnější ženská přání. Jenže ona si je rozmyslela...

190

Odpovědět

Chápu způsob, ale nechápu důvod.

271

Používáme cookies, abychom mohli provozovat tuto internetovou stránku a zlepšit Vaši uživatelskou spokojenost. Budete-li pokračovat beze změny nastavení, předpokládáme, že souhlasíte s ukládáním souborů cookies z internetových stránek. Více informací o použití cookies.
OK