Počítání do nekonečna

Porušíme pravidlo. Porušíme jedno z pravidel Numberphile. Budeme mluvit o něčem, co není číslo. Budeme se bavit o nekonečnu. Takže nekonečno. Jak jsem řekl, nekonečno není číslo. Je to představa. Je to pojem. Pojem něčeho bez konce, co pokračuje dál a dál.

Představa nekonečna je podle mě známá každému, i dětem. Začnete počítat 1, 2, 3, 4, 5... I když je vám pět, už přemýšlíte: "Jaké největší číslo mě napadne?" A řeknete, že dvacet. Když jste o něco starší, řeknete, že možná milion. Nemá to konec, že? Protože vždy můžete přičíst jedničku. Tak to je pojem nekonečna. Čísla pokračují pořád dál a dál.

Ale prozradím vám jeden překvapivější fakt o nekonečnu. Existují různé druhy nekonečen. Některá nekonečna jsou větší než jiná. Ukážeme si to. Prvnímu druhu nekonečen se říká spočetná. Mně se termín spočetná nelíbí. A Brady souhlasí. Je řeč o nekonečnu a nekonečno nelze spočítat, viďte? Protože nemá konec.

Podle mě je to hrozný termín. Dávám přednost termínu vyjmenovatelná. Můžeme ta čísla vyjmenovat? Dobrá. Začneme jednoduchými čísly: 1, 2, 3... Nebudeš je psát všechna, že ne, Jamesi? Kolik máme času? 10 minut. Dobrá.

5, 6... Přirozená čísla lze vyjmenovat. Tomu se říká spočetná množina. Raději vyjmenovatelná. Co celá čísla? Všechna celá čísla. To jsou i všechna záporná čísla. Takže máme nulu, napíšeme ji. 1 a -1, 2 a -2, 3 a -3.

To je také nekonečno. A v určitém smyslu je dvakrát větší, protože má dvojnásobek čísel. Ale je to také nekonečno. Obě jsou to nekonečna a obě jsou stejný druh nekonečen. Obě se dají vyjmenovat. Možná bude překvapivější, že i zlomky se dají vyjmenovat. Ale musíte na to jít trochu chytřeji. Zkusme si vypsat zlomky.

Vytvořím si obdélník. 1 lomeno 1. To je zlomek. Napíše 1 lomeno 2, 1/3, 1/4... 1/7... A tak dál. Napíšeme další řadu s dvojkou na začátku. 2/1, 2/2, 2/3, 2/4. Pusťme se do další. 3/1, 3/2.

4/6, 4/7. Tak můžeme pokračovat dál. Vytvořil jsem nekonečný obdélník zlomků. Ale když je takto napíšu a půjdu řadu po řadě, nastane problém. Když půjdu řadu po řadě, bude to 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7... A tak dál až do nekonečna. K druhé řadě se nikdy nedostanu. Nedokážu je vyjmenovat.

Takto se vyjmenovat nedají. Nedostanete se k druhé řadě. Vyjmenujete je takto. Trošku chytřeji. Půjdete po diagonálách. Ručím za to, že každý zlomek se objeví na některé z těchto diagonál. A vyjmenujete je diagonálu po diagonále. Tohle je první diagonála. Pak vezmete druhou diagonálu. To je ona. Pak třetí, čtvrtou a pátou.

Nakonec vyjmenujete každý zlomek. Každý zlomek se objeví na nějaké diagonále a vy je vyjmenujete. Co takhle vzít všechna čísla? To znamená celou číselnou osu. Zkusme to. Nakreslím ji. To je nekonečná přímka čísel. Jsou to všechna reálná čísla. Uprostřed je 0 a dál 1 a 2 a 3.

Ale je tam i 1/3. Zahrnujete to pí, e a všechna iracionální čísla. Dokážeme je vyjmenovat? Jak to uděláme? Začneme nulou a pak jedničkou? Ale počkat. Zapomněli jsme na polovinu. Přidáme polovinu. Počkat, zapomněli jsme na čtvrtinu. Přidáme čtvrtinu. Ale zapomněli jsme na 0.237... Jak tedy vyjmenujeme reálná čísla?

Ukázalo se, že to nejde. Bude lepší, když vám předvedu, že nejdou vyjmenovat, přestože mluvíme o něčem tak složitém, jako je nekonečno. Do toho, kamaráde! Potřebujeme papír. Potřebujeme nekonečně papíru, řekl bych. Je to složité téma. Představte si, že bychom dokázali vyjmenovat všechna reálná čísla.

Ve skutečnosti nemůžeme. Ale předstírejme, že můžeme. Jak by to vypadalo? Začneme čísly mezi 0 a 1. Napišme nějaká reálná čísla. 0,121 tečka, tečka, tečka, tečka. Napišme další. Řekněme, že další bude 0,221... Další třeba 0,3111 ...1129...

A napišme ještě jedno. 0,001... ...76... Teď vytvořím číslo. Vytvořím následující číslo. Udělám diagonálu. Vezmu tohle číslo a tohle a tohle a tohle a tohle. A zapíšu si je. Tak jaké číslo jsem vytvořil?

Je to 0,12101 něco, něco, něco. Teď zavedu pravidlo. Z toho čísla vytvořím nové číslo. Vytvořím ho následovně. Všechny 1 změním na 2. A všechny 2 a ostatní změním na 1. Zkusme to. Takže ho převedu na...

0 celá... 1 změním na 2. Ostatní měním na 1. Takže to bude 1. 1 změním na 2. To změním na 1. To změním na 2, takové jsem si stanovil pravidlo. A vytvořím něco nového. Tohle na seznamu není.

To číslo se od ostatních na seznamu úplně liší. Není to první číslo, protože se liší na prvním desetinném místě. Není to druhé číslo, protože se liší na druhém desetinném místě. Není to třetí číslo, protože se liší na třetím desetinném místě. Není to čtvrté číslo, protože se liší na čtvrtém desetinném místě. Není to páté číslo, protože se liší na pátém desetinném místě. Vytvořili jsme číslo, které na tom seznamu není. Takže všechna reálná čísla vyjmenovat nelze, jsou nespočetná.

Jsou nevyjmenovatelná. A to znamená, že jde o nový druh nekonečna. Větší druh nekonečna. Ale co kdybychom pokračovali v tvém postupu a přidávali je k seznamu? Nezapíšeme tak nakonec všechna čísla? Ale vždy dokážete vytvořit číslo, které na seznamu nebude. Člověk, který na toto přišel, byl německý matematik Cantor. Cantor žil na přelomu 20.

století. Vysmívali se mu kvůli tomu. Za myšlenku, že existují různé druhy nekonečen, ho nazývali šarlatánem. Tvrdili, že je to nesmysl. A jeho vrstevníci se k němu chovali velmi špatně a v pozdějším životě byl opakovaně hospitalizován v ústavech pro duševně choré, kde nakonec zemřel. Na sklonku jeho života to bylo uznáno. Uznali, že je to pravda. A jemu se dostalo uznání, které se zasloužil.

A teď se objevil v Numberphile. A teď se objevil v Numberphile, což je největší pocta. Georg Cantor. Překlad: petrSF www.videacesky.cz