Odmocnina ze 2

Chtěl bych si promluvit
o čísle odmocnina ze 2. Můj oblíbený fakt o odmocnině ze 2? Když si vezmete papír A série... Tohle je papír A4,
ve většině světa je to standard. Když si vezmete takovýto kus papíru a vypočítáte poměr mezi
dlouhou stranou a krátkou stranou, tedy když změříte delší stranu
a vydělíte ji kratší stranou, vyjde vám odmocnina ze dvou.

A to má svůj důvod. Odmocnina ze 2 je asi 1,41. Je to číslo, které dostanete,
když budete pracovat s Pythagorovou větou. Ta říká, že když máte
odvěsny dlouhé jednotku, tak velikost přepony je
součet odvěsen na druhou. Takže je to odmocnina ze 2. Je to odmocnina ze 2. Když tento papír přeložím v polovině...

Zkusme to. Stal se z něj papír A5. Byl to papír A4, teď je to A5. A když uděláte opět to samé... Když vezmete tuto dlouhou stranu
a vydělíte ji krátkou stranou, získáte opět odmocninu ze 2. Poměr zůstal zachován. Je to tak z toho důvodu,
abyste mohli věci zvětšovat i zmenšovat, aniž by se staly disproporčními.

Odmocnina ze 2 je 1,41... Pokračuje to do nekonečna. Čísla nikdy nepřestanou přibývat. A je to jen jedno
z mnoha takových čísel. Dalším je třeba pí. První byl papír A0. A0 je definován tak, že je to papír, který má
poměr stran odmocnina ze dvou a má plochu 1 metr čtvereční.

Odmocnina ze 2 je jediný poměr,
pro který to funguje. Dokážu vám, že to tak je. Mám tu obdélníkový kus papíru. Tohle je dlouhá strana,
kterou nazvu a. A tohle je krátká strana,
kterou nazvu b. Když vezmu dlouhou stranu a
a vydělím jí krátkou stranou b, získám poměr.

Bude to odmocnina ze 2,
ale předstírejme, že to nevíme. Ale tenhle výsledek chci dostat. Když papír rozpůlím,
toto se stane dlouhou stranou. B je nyní dlouhá strana. Krátká strana je a děleno 2.
Tato strana. Polovina a. Chci, abych získal stejný poměr,
jako jsem měl předtím.

Chci, aby si tyto dva vzorce byly rovné. Musíme to trochu upravit,
trochu si s tím pohrát. Uvidíme, co dostaneme. Dobrá, převeďme si a na tuhle stranu
a b na tuhle. Když si s tím pohrajete,
získáte nalevo a na druhou a 2 b na druhou napravo. Jinými slovy a na druhou
děleno b na druhou se rovná dvěma. Nebo když to odmocníme...

Odmocníme obě strany. A děleno b nalevo a napravo
získáte odmocninu ze 2. A tohle je poměr, který jsme chtěli najít. Jediný poměr, pro který to funguje,
je odmocnina ze dvou. Tohle je Pythagorova věta. Pythagorijci byli kdysi dávno kultem. Mohli mít jistou
spojitost s osobou Pythagora. Byla to divná cháska.

Věřili v tuto Pythagorovu větu. Věřili v harmonii přirozených čísel. Když jste chtěli hrát,
použili jste strunu s určitým napětím. Když jste vzali strunu o poloviční délce,
získali jste harmonickou notu. Věřili, že celá příroda
je složená z čísel. Věřili, že vše může být vyjádřeno jako čistě celé číslo
nebo poměr celých čísel. V to jádro kultu věřilo.

Co znali?
Znali čísla jako 1, 2, 3, 4... Znali zlomky, kde můžete
dvě čísla vydělit. Jako třeba 3/5, 1/2, a tak dál. Věřili i v jiné věci. Například se nesměli ženit
se ženou, která nosila zlaté šperky. Nebo museli být vegetariány
a nejíst semena bobu. A nesměli močit čelem ke slunci. Žákem této zvláštní sekty byl Hippasus.

Ten zjistil, že pokud máte tuto Pythagorovu větu, můžete matematicky dokázat, že toto číslo není poměrem celých čísel. Číslo, které se nedá zapsat
jako zlomek, bylo něco nového. Pokračuje donekonečna. Je to iracionální číslo. Jim se tohle tak nelíbilo...

Povím vám, jak moc se jim to nelíbilo. Podle legend ho odvlekli na moře a už se nevrátil. Nevím, jestli ho utopili
nebo nechali na opuštěném ostrově, ale už ho nikdo nikdy neviděl. Očividně tuto novou informaci ututlali. Nebyli si jistí,
jestli to skutečně existuje. Říkáme jim iracionální čísla, protože nezapadají
do Pythagorova vidění světa.

Je to stejný problém
s jakým se potýkají lidé dnes. Lidé mi často říkají:
"Slyšel jsem o komplexních číslech." "Slyšel jsem o nich,
ale nevěřím, že existují." "Nerozumím jim." Je to stejný problém. Existují a musíte si na ně zvyknout. Byl jedním z prvních lidí,
kteří byli potrestáni za to, že dokázali omyl jiných lidí.

Dělo se to v každé době. Trpěli například fyzici
jako Bruno Giordano, který byl upálen za tvrzení,
že je vesmír nekonečný. Katolická církev na to odpověděla,
že by pak už nezbývalo místo pro Boha. Dokážeme si,
že odmocnina ze 2 je iracionální. Nemůže být zapsána jako zlomek. Dokážeme si to velice
mocným matematickým důkazem.

Důkazem sporem. Budeme předpokládat opak. Budeme předpokládat,
že to lze zapsat jako zlomek. Budeme předpokládat,
že to lze zapsat jako a děleno b. A i b jsou celá čísla. Něco jako 1, 2, 3, 4, 5. Zlomek je ve svém základním tvaru. Nebereme v úvahu něco jako 2 děleno 4.

Výsledkem je polovina
a to není základní tvar. Uvidíme, co se s tím dá dělat. Když přijdete se správnou myšlenkou, která však jde proti všeobecnému mínění, můžete skončit na opuštěném ostrově, být upálen nebo popraven, protože lidé nemají rádi, když jim vyvracíte
názory na fungování světa.

I když jim to dokážete,
není dobrý nápad močit čelem ke slunci. Obě strany umocním na druhou. Na levé straně získám 2 na pravé straně získám
a na druhou děleno b na druhou. Pamatujte, že a i b jsou celá čísla. Trochu si s tím pohrajme. Dostaneme
2 krát b na druhou se rovná a na druhou.

Tímhle jsem dokázal,
že a na druhou je sudé. Je sudé, protože je násobkem dvojky. A protože a na druhou je sudé, tak je sudé i a. Liché číslo na druhou
by zase dalo liché číslo. Jestliže je a na druhou sudé,
tak je sudé i a. A je sudé. Dobře.

A je sudé. Nazvěme si ho nějak jinak. Řekněme si, že a se rovná 2 krát c. Co tedy získáme? Na jedné straně budeme
mít 2 krát b na druhou a na druhé 2 krát c, to celé na druhou. To se rovná 4 krát c na druhou. Z toho zjistím, že b na druhou
se rovná 2 krát c na druhou.

B na druhou je sudé. Jestliže b na druhou je sudé,
tak tedy i b je sudé. Zjistil jsem, že a i b jsou sudá. To je problém. Nemohou být obě sudá. Pokud jsou obě sudá, tak to, stejně jako u mého příkladu
2 děleno 4, není základní tvar. Takovýto zlomek nemůže být.

Neexistuje. Nemůžete odmocninu ze 2
napsat jako takový zlomek. Překlad: Mithril
www.videacesky.cz