Grandiho řada

Dneska se chci pokusit trochu vám zaměstnat mozek. Doufám, že to vyvolá diskuzi v sekci komentářů, protože vím, že YouTube je místo racionálních a informovaných debat. Těším se na to. Otázkou je, čemu se tohle bude rovnat. Je to jen jednoduchý součet. Začnu 1, odečtu 1, pak zase přičtu 1, odečtu 1, přičtu 1, odečtu 1, přičtu 1, odečtu 1...

A tak to jde do nekonečna. Doufám, že myšlenku chápete. Čemu se to bude rovnat? Jednou z odpovědí je, pokud dám závorky takhle. Tady, tady, tady a tady. Jak vidíte, tak to je (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1). Každá závorka se rovná 0. Takže máme 0 + 0 + 0 + 0... Takže se to bude rovnat 0.

Tohle může být odpověď, ale problém je, že je tu další. Napíšu to znova. Můžeme napsat závorky takhle sem. Řekněme, že to je... Tady je plus... A plus tahle závorka. Začal jsem s 1 + (-1 + 1) to je 0, plus (-1 + 1) to je 0. A tak dále, všechny závorky jsou 0.

Všechny závorky přičítají 0, ale na začátku máme 1. Takže teď se to rovná 1. Dostali jsme dvě odpovědi. Pokud jsem dal závorky takhle, tak jsem dostal 0, ale dostal jsem 1, pokud jsem je dal jinak. Je tu ještě jedna odpověď a ta je velice zvláštní. Řekněme, že máme nějaké číslo S. Budeme zjišťovat, čemu se S rovná. Zkusme udělat 1 - S.

Je to 1 mínus tenhle nekonečný součet. Sepíšeme si to. Plus 1, mínus 1, plus 1, mínus 1 Pokud závorku odstraníme, tak tohle mínus způsobí, že se všechny znaménka otočí. Takže budete mít 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... Tohle vznikne, když závorku odstraním. A dostanu přesně to, s čím jsem začal.

Střídá se plus a mínus 1. Takže jsem získal S. Takže 1 - S = S. To je v pořádku, to můžete vyřešit. Jinými slovy, když převedu S na druhou stranu, tak získám 2S = 1. A jak vidíte, tak se S = 1/2. To je zvláštní odpověď. Je to polovina. Nekonečné přidávání plus a mínus 1 vám dá polovinu.

Může to být 1, může to být 0, ale může to být i 1/2. Na tohle přišel italský matematik, který se jmenoval Grandi. Bylo to v roce 1703. Byl to mnich, byl to matematik, byl to takový ten typ. Publikoval to a řekl, že je to divné. Je to 0, 1 a 1/2. Jak to tedy je? Matematické společenství se na to podívalo a řeklo: "Nemůže to být 1/2.

Máte jen jedničky a nuly, to je šílené. To nejde. Ale počkat... Tohle je docela přesvědčivé. Mohla by to být 1/2." A dlouho se o tom debatovalo, přes 150 let. Až do 19. století, kdy se všechno tohle kolem nekonečných součtů vyřešilo. Hodně lidí si myslí, že nejlepší odpověď je 1/2. Chci vám ukázat, proč si myslí, že je to zrovna 1/2. A potom vám ukážu ještě jednu věc, která vám totálně zamotá hlavu. Když si vybereme rozumný nekonečný součet.

Máme rozumné nekonečné řady a nerozumné nekonečné řady. Rozumná je třeba tato. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... A jak získáte výsledek tohoto... Ukážu vám řádný způsob, jak to udělat. Řádný způsob je ten, když se budeme dívat na mezivýsledky. Budeme brát tenhle součet člen po členu. Udělejme z toho řadu.

Nejdřív máme 1, tak jí sepíšu. Co získám, když sečtu první dva členy? Je to 1 + 1/2. Výsledek jsou 3/2. Nebo taky 1,5. Sečteme první tři čísla. 1 + 1/2 + 1/4. Udělejme to. Je to 7/4, což je 1,75. První 4 dohromady.

15/8, což je 1,875. A když přičtete další, tak získáte 63/32. To je 1,9687. Jak vidíte, pořád se blížíme hodnotě 2. A obecně, pokud bych vybral obecně jeden člen, tak to bude 2 - 1/n. A jak vidíte, jak se se n zvětšuje, tak je tohle čím dál menší, až to zmizí a je to 2.

A matematici díky tomu mohou říct, že celý nekonečný součet se rovná 2. Ale s Grandiho řadou to nefunguje. Podívejme se na mezivýsledky. První je 1, druhé dva dohromady jsou 0, první tři dohromady jsou zase 1, první čtyři dohromady jsou zase 0. Budou se střídat 1 a 0. Ale neblíží se to žádné hodnotě, takže to s Grandiho řadou nefunguje.

Ukážu vám druhý způsob, jak zjistit součet. Vezmu mezivýsledky, ale budu brát jejich průměr. Budu to vše průměrovat. Nejdřív to udělám s tímhle, abych předvedl myšlenku. Vezmu první člen, ten je 1. Vezmu první dva mezivýsledky, což je 1 a 1,5, a zprůměruju to tak, že to vydělím dvěma. Bude to průměr z 1 + 3/2.

A to se rovná 5/4. Když vezmu první 3 a zprůměruji je, tak dostanu (1 + 3/2 + 7/4) děleno 3. To mi dá 17/12. Doufám, že jste myšlenku pochopili. Čísla se opět blíží ke 2. Je to jiná metoda k získání odpovědi. Dostal jsem zase 2. Obecně dostanete 2 mínus nějaký zbytek.

Ten zbytek není podstatný, ale pořád se zmenšuje. Opět se blížíte ke 2, je to jen jiná metoda. Ale tato metoda se dá použít na Grandiho řadu. Zkusme to. Průměrujeme mezivýsledky. Tohle jsou mezivýsledky. První je 1. Ale když zprůměrujete první dva, tak dostanete (1 + 0) / 2.

To je 1/2. Vezmeme první tři. Vydělíme je třemi a to mi dá 2/3. Vezmu první čtyři. (1 + 0 + 1 + 0) / 4 To je opět 1/2. Vezmu prvních pět. Možná už chápete, o co tu jde.

Vydělím to 5 a jsou to 3/5. A obecně to bude pokračovat a získáte něco jako... 1/2 a za tím něco jako 1/2 + 1/2n. Vidíte, že tu zase je nějaký zbytek, který se pořád zmenšuje. Blíží se to k 1/2. Budete se pořád přibližovat číslu 1/2. tohle je možná trochu víc technické, než to předtím, ale je to druhý způsob, jak získat stejný součet.

Průměrujete mezivýsledky. Ale pro Grandiho řadu to funguje. Dostanu 1/2. Tak o co jde? Jaký je rozdíl? Tato druhá metoda vám dá součet, pokud nějaký existuje. Limita je to, když se pořád blížíte určité hodnotě. Grandiho řada nemá limitu, protože se neblížíte žádné hodnotě. Ale máte tu tenhle druhý způsob, jak najít součet.

Je to téměř jako limita, ale není to limita. Je to falešná limita, pseudo limita. Má to všechny vlastnosti limity. Dělá to naprosto to samé. Je to tak podobné limitě, že se to objevilo ve výpočtech, kde limity čekáte. Jen s tím rozdílem, že se pořád čím dál víc neblížíte určité hodnotě. Abych zaměstnal vaše mozky...

Zkuste si to představit v reálném světě. Představte si lampu, kterou budeme rozsvěcet a zhasínat. Zapnete ji a vypnete. A kdykoliv v Grandiho řadě narazím na 1, tak světlo rozsvítím. Kdykoliv uvidím -1, tak jí zhasnu. Zapnete, vypnete, zapnete, vypnete. Mezivýsledky vám vlastně říkají, jestli je lampa rozsvícena nebo ne. Máte 1, to znamená, že jste ji zapnuli, když máte 0, tak jste ji vypnuli.

Začneme s pokusem. Po jedné minutě lampu zapnete. Po půl minutě ji zase vypnete. Za čtvrt minuty ji zapnete. Za osminu minuty ji vypnete. Budete je zapínat a vypínat čím dál rychleji. Uděláte to nekonečně krát. Když sečteme čas dohromady, tak máme 1 minutu, plus 1/2 minuty, plus 1/4 minuty, plus 1/8 minuty...

Nekonečně krát. Dohromady to dá 2 minuty. To je ta řada, co jsem tu vytvořil. Pokud si pamatujete video o Zénonových paradoxech, tak se jen neblížíte, ale můžete celý proces dokončit za 2 minuty. Takže za 2 minuty světlo rozsvítíte a zhasnete nekonečně krát. Je po dvou minutách lampa rozsvícena nebo ne?

Pokud je Grandiho řada 0, tak lampa nesvítí. Pokud je Grandiho série 1, tak lampa svítí. Pokud je Grandiho série 1/2... Co to znamená? Je napůl zapnutá a napůl vypnutá? Je zapnutá a vypnutá ve stejnou dobu? Co myslíte? Překlad: Mithril www.videacesky.cz