Thumbnail play icon

Grandiho řada

88 %
Tvoje hodnocení
Počet hodnocení:446
Počet zobrazení:6 475
Toto video se zabývá zajímavou myšlenkou a tou je Grandiho řada, ve které se nekonečně krát přičítá a odečítá jednička. Jaký výsledek tato řada má? Myslím, že budete velmi překvapeni.

Přepis titulků

Dneska se chci pokusit trochu vám zaměstnat mozek. Doufám, že to vyvolá diskuzi v sekci komentářů, protože vím, že YouTube je místo racionálních a informovaných debat. Těším se na to. Otázkou je, čemu se tohle bude rovnat. Je to jen jednoduchý součet. Začnu 1, odečtu 1, pak zase přičtu 1, odečtu 1, přičtu 1, odečtu 1, přičtu 1, odečtu 1...

A tak to jde do nekonečna. Doufám, že myšlenku chápete. Čemu se to bude rovnat? Jednou z odpovědí je, pokud dám závorky takhle. Tady, tady, tady a tady. Jak vidíte, tak to je (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1). Každá závorka se rovná 0. Takže máme 0 + 0 + 0 + 0... Takže se to bude rovnat 0.

Tohle může být odpověď, ale problém je, že je tu další. Napíšu to znova. Můžeme napsat závorky takhle sem. Řekněme, že to je... Tady je plus... A plus tahle závorka. Začal jsem s 1 + (-1 + 1) to je 0, plus (-1 + 1) to je 0. A tak dále, všechny závorky jsou 0.

Všechny závorky přičítají 0, ale na začátku máme 1. Takže teď se to rovná 1. Dostali jsme dvě odpovědi. Pokud jsem dal závorky takhle, tak jsem dostal 0, ale dostal jsem 1, pokud jsem je dal jinak. Je tu ještě jedna odpověď a ta je velice zvláštní. Řekněme, že máme nějaké číslo S. Budeme zjišťovat, čemu se S rovná. Zkusme udělat 1 - S.

Je to 1 mínus tenhle nekonečný součet. Sepíšeme si to. Plus 1, mínus 1, plus 1, mínus 1 Pokud závorku odstraníme, tak tohle mínus způsobí, že se všechny znaménka otočí. Takže budete mít 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... Tohle vznikne, když závorku odstraním. A dostanu přesně to, s čím jsem začal.

Střídá se plus a mínus 1. Takže jsem získal S. Takže 1 - S = S. To je v pořádku, to můžete vyřešit. Jinými slovy, když převedu S na druhou stranu, tak získám 2S = 1. A jak vidíte, tak se S = 1/2. To je zvláštní odpověď. Je to polovina. Nekonečné přidávání plus a mínus 1 vám dá polovinu.

Může to být 1, může to být 0, ale může to být i 1/2. Na tohle přišel italský matematik, který se jmenoval Grandi. Bylo to v roce 1703. Byl to mnich, byl to matematik, byl to takový ten typ. Publikoval to a řekl, že je to divné. Je to 0, 1 a 1/2. Jak to tedy je? Matematické společenství se na to podívalo a řeklo: "Nemůže to být 1/2.

Máte jen jedničky a nuly, to je šílené. To nejde. Ale počkat... Tohle je docela přesvědčivé. Mohla by to být 1/2." A dlouho se o tom debatovalo, přes 150 let. Až do 19. století, kdy se všechno tohle kolem nekonečných součtů vyřešilo. Hodně lidí si myslí, že nejlepší odpověď je 1/2. Chci vám ukázat, proč si myslí, že je to zrovna 1/2. A potom vám ukážu ještě jednu věc, která vám totálně zamotá hlavu. Když si vybereme rozumný nekonečný součet.

Máme rozumné nekonečné řady a nerozumné nekonečné řady. Rozumná je třeba tato. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... A jak získáte výsledek tohoto... Ukážu vám řádný způsob, jak to udělat. Řádný způsob je ten, když se budeme dívat na mezivýsledky. Budeme brát tenhle součet člen po členu. Udělejme z toho řadu.

Nejdřív máme 1, tak jí sepíšu. Co získám, když sečtu první dva členy? Je to 1 + 1/2. Výsledek jsou 3/2. Nebo taky 1,5. Sečteme první tři čísla. 1 + 1/2 + 1/4. Udělejme to. Je to 7/4, což je 1,75. První 4 dohromady.

15/8, což je 1,875. A když přičtete další, tak získáte 63/32. To je 1,9687. Jak vidíte, pořád se blížíme hodnotě 2. A obecně, pokud bych vybral obecně jeden člen, tak to bude 2 - 1/n. A jak vidíte, jak se se n zvětšuje, tak je tohle čím dál menší, až to zmizí a je to 2.

A matematici díky tomu mohou říct, že celý nekonečný součet se rovná 2. Ale s Grandiho řadou to nefunguje. Podívejme se na mezivýsledky. První je 1, druhé dva dohromady jsou 0, první tři dohromady jsou zase 1, první čtyři dohromady jsou zase 0. Budou se střídat 1 a 0. Ale neblíží se to žádné hodnotě, takže to s Grandiho řadou nefunguje.

Ukážu vám druhý způsob, jak zjistit součet. Vezmu mezivýsledky, ale budu brát jejich průměr. Budu to vše průměrovat. Nejdřív to udělám s tímhle, abych předvedl myšlenku. Vezmu první člen, ten je 1. Vezmu první dva mezivýsledky, což je 1 a 1,5, a zprůměruju to tak, že to vydělím dvěma. Bude to průměr z 1 + 3/2.

A to se rovná 5/4. Když vezmu první 3 a zprůměruji je, tak dostanu (1 + 3/2 + 7/4) děleno 3. To mi dá 17/12. Doufám, že jste myšlenku pochopili. Čísla se opět blíží ke 2. Je to jiná metoda k získání odpovědi. Dostal jsem zase 2. Obecně dostanete 2 mínus nějaký zbytek.

Ten zbytek není podstatný, ale pořád se zmenšuje. Opět se blížíte ke 2, je to jen jiná metoda. Ale tato metoda se dá použít na Grandiho řadu. Zkusme to. Průměrujeme mezivýsledky. Tohle jsou mezivýsledky. První je 1. Ale když zprůměrujete první dva, tak dostanete (1 + 0) / 2.

To je 1/2. Vezmeme první tři. Vydělíme je třemi a to mi dá 2/3. Vezmu první čtyři. (1 + 0 + 1 + 0) / 4 To je opět 1/2. Vezmu prvních pět. Možná už chápete, o co tu jde.

Vydělím to 5 a jsou to 3/5. A obecně to bude pokračovat a získáte něco jako... 1/2 a za tím něco jako 1/2 + 1/2n. Vidíte, že tu zase je nějaký zbytek, který se pořád zmenšuje. Blíží se to k 1/2. Budete se pořád přibližovat číslu 1/2. tohle je možná trochu víc technické, než to předtím, ale je to druhý způsob, jak získat stejný součet.

Průměrujete mezivýsledky. Ale pro Grandiho řadu to funguje. Dostanu 1/2. Tak o co jde? Jaký je rozdíl? Tato druhá metoda vám dá součet, pokud nějaký existuje. Limita je to, když se pořád blížíte určité hodnotě. Grandiho řada nemá limitu, protože se neblížíte žádné hodnotě. Ale máte tu tenhle druhý způsob, jak najít součet.

Je to téměř jako limita, ale není to limita. Je to falešná limita, pseudo limita. Má to všechny vlastnosti limity. Dělá to naprosto to samé. Je to tak podobné limitě, že se to objevilo ve výpočtech, kde limity čekáte. Jen s tím rozdílem, že se pořád čím dál víc neblížíte určité hodnotě. Abych zaměstnal vaše mozky...

Zkuste si to představit v reálném světě. Představte si lampu, kterou budeme rozsvěcet a zhasínat. Zapnete ji a vypnete. A kdykoliv v Grandiho řadě narazím na 1, tak světlo rozsvítím. Kdykoliv uvidím -1, tak jí zhasnu. Zapnete, vypnete, zapnete, vypnete. Mezivýsledky vám vlastně říkají, jestli je lampa rozsvícena nebo ne. Máte 1, to znamená, že jste ji zapnuli, když máte 0, tak jste ji vypnuli.

Začneme s pokusem. Po jedné minutě lampu zapnete. Po půl minutě ji zase vypnete. Za čtvrt minuty ji zapnete. Za osminu minuty ji vypnete. Budete je zapínat a vypínat čím dál rychleji. Uděláte to nekonečně krát. Když sečteme čas dohromady, tak máme 1 minutu, plus 1/2 minuty, plus 1/4 minuty, plus 1/8 minuty...

Nekonečně krát. Dohromady to dá 2 minuty. To je ta řada, co jsem tu vytvořil. Pokud si pamatujete video o Zénonových paradoxech, tak se jen neblížíte, ale můžete celý proces dokončit za 2 minuty. Takže za 2 minuty světlo rozsvítíte a zhasnete nekonečně krát. Je po dvou minutách lampa rozsvícena nebo ne?

Pokud je Grandiho řada 0, tak lampa nesvítí. Pokud je Grandiho série 1, tak lampa svítí. Pokud je Grandiho série 1/2... Co to znamená? Je napůl zapnutá a napůl vypnutá? Je zapnutá a vypnutá ve stejnou dobu? Co myslíte? Překlad: Mithril www.videacesky.cz

Komentáře (97)

Zrušit a napsat nový komentář

Odpovědět

Kolik je 0+0+0+0+0+0.......?
Podle toho postupu to může byt cokoliv. Např. 0=1-1.
Dosadíme místo mul (1-1)+(1-1)+(1-1)......, odstraníme závorky a máme 1-1+1-1+1-1+1-1+1.... a jak víme jsou 3 možné výsledky. Tak si dáme 0=4-4. Dosadíme za nuly 4-4+4-4+4-4+4-4+4................ a výsledky budou +4, -4, a +2. Atd......
Znamená to, že 0+0+0+0+0+0+0.... do nekonečna rovná se cokoliv?

11

Odpovědět

Drobná chyba
Dosadíme za nuly 4-4+4-4+4-4+4-4+4……………. a výsledky budou +4, -4, a +2. Atd……

Správně by to mělo být
Dosadíme za nuly 4-4+4-4+4-4+4-4+4……………. a výsledky budou +4, 0, a +2. Atd……

00

Odpovědět

Eeeee proč srovnával postup kdy přičítáme a hned odečítáme jednotku(1+1-1+1-1+1-1 ...) s postupem kdy nakreslil řadu součtů zasebou? (1+1/2+1/4+1/8 ...)

Klidně mínusujte, jenom jsem nepochopil jak to spolu souvisí, nejsem matematik.

00

Odpovědět

Abychom mohli spolu párovat +1 a -1 a dostat tak 1, respektive 0, museli bychom vědět, zda má řada lichý nebo sudý počet členů. Nekonečná řada však nemá ani lichý, ani sudý počet členů a stále roste. Z toho důvodu se obecně výsledek nerovná ani 1 ani 0 a protože to jsou jediné možné hodnoty, kterých se můžeme v konečném počtu kroků dopočítat, uvažuje se aritmetický průměr z těchto dvou hodnot reprezentující výsledek jako "někde mezi".

Zjednodušeně by se v tomhle případě dal výsledek označit za foton - jednou je částicí, podruhé vlnou.. v obecném případě nevíme čím je nyní a tak počítáme s oběma možnostmi. A zde nám přichází v úvahu Heisenbergův princip neurčitosti, podle kterého nemáme možnost zjistit v přesném čase přesný stav... tedy pokud se zaměříme na konkrétní čas daleko v nekonečnu, bude hodnota stavu maximálně nepřesná - mezi 1 a 0, a tedy 1/2.

U Zenova paradoxu je podle mne následující háček - ačkoliv prostor lze dělit nekonečně (toho využíváme právě při výpočtech oněch řad), tak čas dělit nekonečně nelze (pouze mne napadá případ, kdy dostáváme samé 0). Součet řady, kdy Achilles honí želvu je vlastně momentem, kdy želvu předhoní, čehož však není schopen pokud se bude časový úsek chovat jako prostor a bude se nechávat dále a dále dělit na menší a menší kousky, které budou stále další a další... a takto to s časem jak jej vnímáme my podle mého nefunguje - ačkoliv čas jako takový lze považovat za nekonečný, tak časový úsek 1minuty nekonečný není. Proto v reálném světě ruka tleskne a Achilles želvu předhoní. Taktéž výpočet, kdy Achilles předběhne želvu, který by provedlo dítě na první stupni základní školy by byl správný, neboť by používalo pouze konečná čísla a tím pádem i konečný čas, který je realitě blíže.

Jen můj názor, možná se v některých věcech mýlím. :)

262

Odpovědět

Hodor!

323

Odpovědět

Mě fascinuje tvář toho týpka, občas vypadá až děsivě :-D Jinak k tématu: nejsem zrovna matematik a neznám všechny ty pojmy, ale řekl bych, že pro tuhle řadu jsou přípustná obě řešení, tedy limita této řady může být 1 i 0 a samozřejmě pokud se to zprůměruje, tak je to jedna polovina. Je to silně teoretická záležitost, takže teoreticky můžou být správná všechna řešení. Převedení na reálný svět mi připadá chybné, protože v reálu není z fyzikálního hlediska možné něco dělit do nekonečna. Kdybychom něco dělili na stále menší a menší půlky, dostaneme se až na tzv. planckovu vzdálenost, což je nejmenší možná, fyzikální veličina a kterou prostě rozdělit nejde. Proto se o takových věcech, jako je například tato číselná řada, nebo ty jeho paradoxy, o tom jak není možné tlesknout a že Achiles nepředběhne želvu, můžeme bavit pouze v teoretickém kontextu. Na reálný příklad to převést nejde.

193

Odpovědět

Současná teorie považuje Planckovu délku za nejkratší dosažitelnou vzdálenost, o které se můžeme cokoliv dozvědět." takže to neznamená, že neexistuje menšia vzdialenosť

230

Odpovědět

Přesně, jak říká Suki, Planckova délka je jen (ikdyž pravda spočtená velice přesně a zapadající do mnohých praktických experimentů) umělá hranice, nad kterou "platí" fyzikální zákony - ne že by pod ní neplatily, jen věci pod tímto měřítkem fungují jinak. Stejně to platí pro čas, hmotnost a další odvozené Planckovy jendotky. Vem si, že bys měl předmět o délce 1,5 Planckovy délky a kus o délce 1 Planckovy délky uříznul, protože méně uříznout nemůžeš. Co by se stalo s tou půlkou? Zmizí? Ne - bude tam pořád, jen se bude chovat jinak, než bys čekal (ať už bys čekal cokoliv, to je na tom to zábavné :)). Čili můžeš oddělit jakkoli dlouhý úsek, jen budeš zodpovědný za případné následky :)

30

Odpovědět

Kdybychom na začátku řekli, že se jedná o alternující řadu, kde a_n=1 a tím pádem nesplňuje Leibnizovo kritérium tedy diverguje, ušetřili bychom si potíže s hledáním součtu, protože bychom věděli, že divergentní řada prostě součet nemá.

223

Odpovědět

Na základě nesplnění předpokladů Leibntizova kritéria se nedá vyvrátit konvergence řady. Zde není splněna nutná podmínka, to jest člen v nekonečnu se blíží nule a tedy řada diverguje.
Existují ale i metody jak sčítat divergentní řady, např. Cesarova metoda.

10

Odpovědět

Ehm.. a k čemu je to dobré?! :S

1832

Odpovědět

Budou levnější rohlíky...

333

Odpovědět

Myslím si, že pokud by někdo tuhle lampu zapnul a vypnul nekonečněkrát během dvou minut, praskal by žárovka... :D Ne jen vtípek ;-) Tohle je hodně zajímavá věc, ale já osobně si myslím, že takovéhle nekonečné řady, co nemají "pravou limitu", nemají ani řešení.

200

Odpovědět

Zkurvená matika :D

1913

Odpovědět

Nikdy se nedostanu na hodnotu casu 2 minuty. Jelikoz, kdyz musim neco udelat nekonecnekrat behem 2 minut, tak to musim delat porad do skonani sveta :). A myslim si, ze tady nepomuze ani rychlost svetla.

1816

Odpovědět

Míří-li foton přes desku se dvěma štěrbinami z nichž jedna je pozorována, neprojde oběma štěrbinami. Není-li pozorována, projde. Je-li pozorována poté co projde, ale předtím, než narazí na desku za ní, neprojde oběma štěrbinami.

202

Odpovědět

A pak ta kočka chcípne.

210

Odpovědět

k tomu jeho zaveru ... do ty doby se ta zarovka rozbije a prestane svitit D: jak se bude porad zapinat a vypinat


a docela by me zajimalo proc vzdycky ty vypocty dela na takovym hnusnym kusu papiru.

1914

Odpovědět

Schrödingerova lampa :D

222

Odpovědět

Keď vidím toho týpka z videa, vravím si, že takto nejako som si vždy predstavoval, že vyzerá panic pred štyridsiatkou :-D

1936

Odpovědět

psat takhle jednicky mi prijde trochu neprakticky .)

194

Další
Používáme cookies, abychom mohli provozovat tuto internetovou stránku a zlepšit Vaši uživatelskou spokojenost. Budete-li pokračovat beze změny nastavení, předpokládáme, že souhlasíte s ukládáním souborů cookies z internetových stránek. Více informací o použití cookies.
OK