Thumbnail play icon

Zénónovy paradoxy

88 %
Tvoje hodnocení
Počet hodnocení:584
Počet zobrazení:9 281

Zénón z Eleje byl řecký filozof, který vytvořil seznam paradoxů, z nichž minimálně o jednom jste již slyšeli. A pokud jste příběh o Achillovi a želvě zatím neslyšeli nebo jste ho nepochopili, tak zde se vám dostane i s matematickým vysvětlením.

Přepis titulků

Zénónovy paradoxy jsou problémem, který nezajímá pouze matematiky, jako jsem já, ale také fyziky a filozofy. A tak to je už tisíce let. Zénón byl řecký filozof. Žil před 2 500 lety a sepsal seznam paradoxů. Je jich asi devět. Ty, o kterých chci mluvit jsou si podobné.

Ten první zbožňuju, protože se k němu váže malý příběh. Nazývá se Achilles a želva. Achilles a želva spolu závodí. Želva je samozřejmě pomalejší. Takže jí dá náskok. Stometrový náskok. A pak závod začne. Achilles uběhne 100 m a doběhne na místo, kde želva stála, ale ta se už tou dobou posunula.

Posunula se o 10 metrů. Takže Achilles musí želvu zase doběhnout. Uběhne tedy 10 metrů. A doběhne tam, kde želva stála, aleto už je želva zase o metr dál. Achilles opět musí želvu doběhnout. A to se bude pořád opakovat. Takže paradoxem je, jestli Achilles někdy želvu dohoní. Je to bláznivé.

Očividně ji musí dostihnout. Žijeme v reálném světě. Musí želvu dostihnout. Další z těchto paradoxů je v podstatě stejný, ale je jednodušší. Držím takhle ruce. Svoji levou ruku nechám na místě. Pravou rukou pohnu k levé a tlesknu. Když to uděláte, můžete to brát tak, že půlím vzdálenost a pak znovu půlím, znovu půlím a znovu a znovu a znovu.

Budu nekonečně krát půlit vzdálenost. Znamená to, že moje ruce nikdy netlesknou? Je tu nějaké silové pole, které brání, aby se ruce setkaly? Očividně tlesknou. To je paradox. Tak o co tu jde? Jak může nekonečný proces skončit? Co se tu děje? To je část Zénónových paradoxů. Chci vám to ukázat z matematického pohledu.

Protože někdo řekl, že to vyřešili matematici. Řekněme, že začnu s rukama ve vzdálenosti 2 metrů. A budu je přibližovat. Jsou od sebe 2 metry a já urazím poloviční vzdálenost. Urazil jsem metr. Pak urazím opět polovinu a zmenším vzdálenost o půl metru. Uděláte to znovu, znovu půlíte vzdálenost. Takže vaše ruce urazily čtvrt metru.

Pak je to osmina, šestnáctina, jedna lomeno třiceti dvěma... A tak to půjde do nekonečna. Budete půlit vzdálenosti do nekonečna. Řekněme, že je to proměnná. Označme to jako proměnnou. Označme ji S, jako součet. Můžete s tím udělat malý trik. Nejdříve to vynásobím jednou polovinou. Celé to vynásobím jednou polovinou. Když vynásobím levou stranu polovinou, tak získám polovinu S.

Na pravé straně vynásobím polovinou všechny členy. Jedna krát polovina je polovina. Napíšu to sem, nechám tu mezeru. Teď vynásobím polovinu polovinou a dostanu čtvrtinu. Udělám to pro každý člen, takže čtvrtina krát polovina je osmina. A osmina krát polovina je šestnáctina. A teď tyto dvě rovnice od sebe odečtu. Nalevo tedy S mínus polovina S dá polovinu S.

Napravo odečtu tyhle dva řádky. Mám tu jedničku, pak tu mám plus polovinu a mínus polovinu. Plus čtvrtina a mínus čtvrtina. Plus osmina a mínus osmina. Všechny členy se vyruší. Takže vám zbyde jen jednička. A jelikož se vše vyruší, můžete zjistit S. S se rovná 2. Takže to budou dva metry.

Takže vaše ruce urazí dva metry. I když je to nekonečný proces, tak vaše ruce urazí dva metry. Čas je taky důležitý. Kdyby každý krok zabral vteřinu, tak to bude to nekonečný počet vteřin. Bylo by to delší než vteřina. Takže by jste své dva metry urazili, ale trvalo by to nekonečně dlouho. Čas je taky důležitý. Řekněme, že je to rychlejší.

Řekněme, že se pohybují rychlostí metr za vteřinu. Takže se pohybují 1 metr za vteřinu a to je vlastně to samé. Rozpůlení vzdálenosti zabere vteřinu. Další rozpůlení vzdálenosti mi zabere půl vteřiny. A pak čtvrtinu vteřiny. Takže překonám dva metry za dvě vteřiny. A moje ruce tlesknou. Takový nekonečný součet je "rozumný".

Když budete sčítat a postupně přidávat členy, tak získáte mnoho různých součtů, které se budou přibližovat vaší odpovědi. Pokud to tak je. Pokud se vaše mezivýsledky stále více přibližují k určité hodnotě, říkáme, že je to rozumný součet. A v nekonečnu je tomu přesně rovný. Není to tak, že by se k hodnotě blížil a nikdy jí nedosáhl. Je to přesně ten výsledek.

Vypadá to, jako bych tvrdil, že můžete dokončit nekonečný proces. Nekonečný proces nemá poslední krok. Ale může být něco dokončeno bez posledního kroku? A to je paradox. Má to nějaké řešení? Na to nemám žádnou snadnou odpověď. Je to paradox, který mátl filozofy a matematiky po 2 500 let. Já jsem s tím taky zápasil.

A za posledních 2 500 let s tím zápasily větší mozky, než vy a já. Takže pokud se vám z toho roztaví mozkové závity, tak se nebojte, jste v dobré společnosti. Některá čísla, která pokračují do nekonečna, jako třeba pí nebo odmocnina ze dvou... Jak do toho zapadají? Když něco jde do nekonečna... Je to jako se ptát, jestli dokážu nakreslit něco, co má nekonečný počet desetinných míst.

Je to stejný druh problému. Ale i když je to také nekonečný proces, tak může být dokončen. Já vím, že je to bizarní, ale podívejte se. Nakreslím trojúhelník. Tahle strana je dlouhá jedničku, tahle také, pravý úhel... A tahle má délku odmocninu ze dvou. A není důvod, proč bych to nenakreslil, i když odmocnina ze dvou je iracionální, což znamená, že desetinných čísel je nekonečně mnoho.

I když to tak je, nic mi nebrání, abych to nakreslil. Stejně tak mi nic nebrání v tom, abych tleskl. Můžete to brát jako nekonečný proces. Vzdálenost zmenšuji nekonečně krát, ale přesto tlesknu. Matematici v 19.

století se snažili přijít na to kdy se tato nekonečné součty chovají rozumně a kdy nerozumě. A je kolem toho hodně technických detailů. Ukázalo se to být důsledným a konzistentním, což je důležité, ale některé testy, které můžete použít k dokázání, že je součet rozumný, jsou docela snadné. Jeden vám ukážu. Když vezmete jeden z členů...

Budu mu říkat a. Vezmu si jeden člen. N-tý člen, a s indexem n. Vydělím ho předchozím členem. Je to záporné, tak to udělám kladné. Když si vezmete tato čísla... Když se tato čísla blíží k určité hodnotě, říkejme jí r...

Jak se tato n se zvětšují. Když se tato čísla blíží k určité hodnotě a když je tento podíl menší než 1, tak je to rozumná funkce. Takže toto bylo rozumné. Proč je to rozumné? Protože když vezmete jeden člen a vydělíte ho předchozím, tak dostanete polovinu.

Jedna děleno polovinou je polovina. Čtvrtina dělená polovinou je polovina. Všechno jsou to poloviny. Máte společný faktor a to polovinu. Společný poměr pro všechny členy je polovina. Prošlo to testem. Podrobili jsme to testu. a prošlo to, je to tedy rozumné.

Kdyby to bylo větší než 1, pak by to nebylo rozumné. Což může znamenat... že to pokračuje do nekonečna, nebo to může být periodické nebo nějaký jiný zvláštní případ. Není to rozumné. A v případě, že by to bylo rovno jedné, tak to nemůžeme rozhodnout. Může to to být obojí. Může to být rozumné i nerozumné. Záleží na okolnostech.

Při r=1 si nejsme jistí. A co řady, kde je r větší než jedna? Můžeš mi ukázat nějakou nerozumnou řadu? Kdyby to bylo větší než 1, tak se členy budou pořád a pořád zvětšovat. Možná ani nebudou mít stejný poměr, ale... už dříve jsme mluvili o Fibonacciho posloupnosti. Pokud něco takového máme... 1,1,2,3,...

Když je vydělíte, tak nemají společný poměr. Poměr se blíží k hodnotě 1,618, čili ke zlatému řezu. 1,618 bude větší než 1 a bude to nerozumné. A když je sečtete, tak získáte číslo, které v tomto případě blíží nekonečnu. Bude se to nazývat divergentní. Tenhle náš příklad je rozumný a říká se mu konvergentní. Má otázka na fyziky je následující: Když budeme doslovní a zohledníme reálný svět, a když budeme vzdálenost opakovaně půlit znovu a znovu nekonečně krát.

Nebo budeme budeme půlit čas potřebný k dokončení kroku nekonečně krát, takže to bude pořád rychlejší... Půjde to? Můžete dělit čas a prostor nekonečně krát? Já to nevím, tak chci, aby mi to řekli fyzici. Jsme trochu v oblasti počtu se kterým se někteří mohli setkat už na střední škole.

Počet pomáhá definovat prostor přidáváním opravdu úzkých proužků k sobě. Je to ve stejném prostoru. Newton a Liebnitz se snažili přidávat plochu pomocí velmi tenkých proužků. Nejsou nulové, ale blíží se tomu. A tahle myšlenka byla později nahrazena tím, co jsme tu právě udělali.

Myšlenkou z 19. století zvanou limity. Trvalo to tedy dlouho, než se to povedlo vyřešit.

Komentáře (102)

Zrušit a napsat nový komentář

Odpovědět

Jsem matematik, vystudovaný Matfyz a ČVUT.

Pokud byste chtěli něco vysvětlit k videu výše, dejte vědět.

00

Odpovědět

Nejsem matematik, nikdy jím nebudu a matematiku jsem začal odsouvat v době, kdy ji přestaly stačit obyčejná čísla... ale!

Proč je přibližování ruky matematicky zobrazeno jako půlení vzdáleností? Příjde mi to naprosto stupidní. Mám bod A (statická ruka) a bod B (ruka, kterou budeme hýbat vstříc tlesknutí). Bod B je od A vzdálen 1 metr. Nyní se bod B dá do pohybu, řeknemě 10cm za 0,1vteřin. A tak přibližujeme následovně. 100cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm-10cm = 0cm. Tadá. Jednadvacet. Dejte jim skutečnou práci :-)

12

Odpovědět

Jde o to jak zní zadání. Tady to bylo to, že vzdálenost (nebo čas) se vždy zkrátila o polovinu. Právě jak říkáš, že krátíš metr stejnou vzdáleností, tak stejně bys na to měl přijít i takto, což je právě ten rozumný součet nebo jak to říkal.

00

Odpovědět

Odpověď na jeho fyzikální otázku na konci o dělení vzdáleností: Planckova délka (pokud nevíte, oč jde, UTFG). Jsem přitom nefyzik a nematematik...

01

Odpovědět

Planckova délka není nejmenší možná vzdálenost/rozměr. Když budeš mít něco o délce 1,5 planckovy délky a odečteš od toho 1 planckovu délku, co bude s tím zbytkem? Nezanikne, bude tam zbytek měřící polovinu planckovy délky. Jen prostě nevíme, jak se bude chovat.

00

Odpovědět

+TetřevNejsem si jistý, jestli může prakticky existovat polovina Plancovy délky. Fyziku elementárních částic jsem měl naposledy na střední, takže si tím vůbec nejsem jist, ale v dostatečně "malých" rozměrech a energiích se projevuje kvantový charakter hmoty, kdy existují jisté stavy ("polohy") a nic mezi tím. Častice prostě "skáče" po energetických hladinách a nemůže být "na půl cesty". Podobné chování vykazuje dost možná i prostor...

02

Odpovědět

paradox to není; nemůžete ukončit proces který nemá poslední krok, protože tohle není proces ale akce, akce která se sestává z jednoho kroku: začít sunout ruku proti té druhé konstatní rychlostí... :)

20

Odpovědět

Nie, nemôžeme deliť niečo stále do nekonečna, dokonca ani čas. Existuje tzv. planckov čas, planckova dĺžka, planckova hmotnosť... sú to najmenšie nedeliteľné časti nášho sveta. Náš svet sa nám z makroskopického hľadiska javí ako spojitý. Avšak v úplných základoch je náš svet kvantovaný. Ak sa niečo deje napr. v medziach planckovho času, tak napr. vo vákuu nastávajú fluktuácie, kde sa vytvára pár častica - antičastica a spolu anihulujú. Oni si akoby požičali energiu z budúcnosti za toho predpokladu, ak ju vrátia dostatočne rýchlo. Úplne presne nevieme, či by sme nejakým spôsobom mohli deliť aj planckove jednotky, ale vieme to, že náš svet sa z nich skladá a až to potom niečo môže tvoriť. Inak povedané, planckova konštanta vyjadruje základné kvantum akcie.

Avšak tlesknutie ani nie je spojené s takýmito miniatúrnymi jednotkami. Tlesknutie nastáva pri atomárnych vzdialenostiach, keď na seba začne pôsobiť elektrická sila záporne nabitých elektrónov.

42

Odpovědět

Nekonečně mnoho matematiků přijde do baru. První si objedná jedno pivo, druhý půl piva, třetí čtvrt piva. V tom je barman zastaví, řekne "vy jste idioti" a naleje jim dvě piva.

670

Odpovědět

Přijde mi, že tam má hroznou logickou botu. :)

Tvrdí, že když z první řady čísel odečteme tu druhou (tu poloviční), že se odečte vše až na tu jedničku... takže mu vyjde S=1. Jenže on celou řadu posunul a zapomněl na poslední člen první řady - na 1/nekonečno. Zbylo by mu tam tedy S=1+1/(nekonečno*2).

Nelze přece tvrdit, že všechna enkonačna jsou stejně velká, to by pak položilo na lopatky celou matematiku. V podstatě by to stanovilo, že všechna čísla jsou si rovná. Důkaz by mohl vypadat nějak takto: 5=1, rozšíří se to na 5*nekonečno=1*nekonečno, což by bylo nekonečno=nekonečno... podobně by to fungovalo i u dělení 5/1 = (5*nekonečno) / (1*nekonečno) = nekonečno/nekonečno = 1...

To, že nejsem schopen pochopit velikost (malost) nějakého čísla, přece neznamená, že ho mohu ignorovat. :)

2516

Odpovědět

Nekonečno můžeš vynásobit, vydělit, odečíst, přičíst, umocnit, odmocnit, udělat faktoriál, ale výsledek bude vždycky nekonečno. Takže když nekonečno vydělíš dvěma, budeš mít opět nekonečno, tudíž to do té rovnice perfektně zapadá. Nekonečno nemůžeš brát jako číslo, jako spíš abstraktní pojem.

242

Odpovědět

+Wolker01A pak tu máš ještě problém s příkladem nekonečno:nekonečno=?
Výsledek může být cokoli: 2, 30, 54384. Na nekonečno se prostě nevztahují matematické, fyzikální ani logické zákony.

12

Odpovědět

Ona totiž ta první řada čísel žádný poslední člen nemá (protože je nekonečná). Prostě mu tam zbydou dvě stejné nekonečné řady čísel - když jsou nekonečné, tak nemůžeš říct, že ta první je o číslo delší. Máš na to moc středoškolský pohled, prostě musíš brát tu řadu jako celek.

A k těm nekonečnům. Všechna nekonečna nejsou stejně velká (to už je složitější matematika), ale zrovna v tom tvém případě to tak je (5*nekonečno=1*nekonečno). Matematiku to na lopatky nepoloží, protože rovnici nemůžeš jen tak vynásobit nekonečnem a tvrdit, že je to to samé. Stejně tak nemůžeš rovnici vynásobit nulou, což by šlo pro ten tvůj důkaz použít taky (5=1, 5*0=1*0, 0=0 dokázáno) a ani nepotřebuješ nekonečno. Proto se ve škole učí, že existuje něco jako ekvivalentní úpravy rovnice, což jsou úpravy, které nemění její platnost.

00

Odpovědět

:-) problém této úlohy jsou ČÍSLA, Zénón počítal v římské číselné soustavě I, V, X, L, C, D, M ... :-) Nevím kolik z Vás si to uvědomilo (autor evidentně ne ... vhodný název videa by byl spíše příklad na součet geometrické řady, v římské číselné soustavě to nelze řešit)

201

Odpovědět

Prepáč, ale akosi mi ušlo ako si prišiel nato, že Zenon počítal s rímskymi číslami. V skutočnosti bol Zenon z Elei z obdobia predsokratovských filozofov, ktorí patrili ku grékom. Takže tento názor nachádzam z hľadiska vierohodnosti ako nesprávnu domnienku. http://en.wikipedia.org/wiki/Greek_numerals
Akonáhle máš nejaký vierohodný zdroj, ktorým by si dokázal môj omyl rád si ho od teba vypýtam.

20

Odpovědět

matemaika ma strašne bavila do doby, než som spoznal fyziku.. :)

243

Odpovědět

V podstatě nám tak pěkně vysvětlil geometrickou posloupnost. Jen bych chtěl dodat, že sním asi nemohu zcela souhlasit s názorem, že například odmocninu ze dvou můžeme nakreslit, protože můžeme nakreslit jen určitou vzdálenost která se tomu číslu blíží, ale to asi každý chápe. Jinak bezva video :-)

190

Odpovědět

Presne tak. Tieto videa by mali byť súčasťou osnovy na stredných školách minimálne pri výučbe GP a MP. Už len pre to že sú skutočne zaujímavé a to /mladých/ ľudí zaujme. Ide na top z opačnej strany ako väčšina učiteľov a dokonca, čo je smutné, aj profesorov. K teorí ktorú prezentoval som sa dostal až na vysokej čo je skutočne škoda pretože až teraz človek môže povedať že aspoň chápe GP. Nie že vás na strednej naučili 5 vzorcov a 150 poučiek... To je tak na prt ako aj celé naše školstvo.

210

Odpovědět

Pokud bude Achilles 2x rychlejší než želva a ta bude mít 1m náskok, tak pokaždé, když se želva pohne o nějakou vzdálenost, Achilles tuto vzdálenost uběhne za poloviční čas než želva. Ta mezi tím uběhne poloviční vzdálenost toho co uběhla předtím a to za poloviční čas než předtím. To znamená, že časový rozdíl mezi Achillem a želvou se bude donekonečna dělit dvěma a nikdy nedojde k nule. Pokud bude Achillova rychlost 1m/s a želvy 0,5m/s (blbost, já vím), tak z fyziky víme, že se setkají přesně za 2s od startu. Zenonuv parodox ale počítá s časem který = čas setkání - (čas achilea na 1m)/(nekonečno*2) to je 2 -(1)/(nekonečno*2). To se nebude nikdy rovnat 2s a Achilles želvu nikdy nedoběhne. Vtip teda není v tom, že Achilles želvu nedoběhne cestou do cíle, ale že ji nedoběhne za čas, který je menší než doba, za kterou ji doběhne. (hm, to zní divně :D)

224

Odpovědět

Ty jsi to naprosto vystihl.
Všichni se tady bavíme (odteď mezi vás patřím:-)), o těch matematických výpočtech, ale zapomínáme opravdu na to, že jde o ten paradox o tom, že Achilles vyběhne chvíli potom, co se želva už posunula. Myslím, že to James Grime naprosto krásně popsal. Super video.

Zajímalo by mě, zda má na tohle fyzika vysvětlení.. :)

20

Odpovědět

+kfpuspoPřekvapivě má. Planckův čas (délka, hmotnost) jsou to nejmenší a nedělitelné části, stejně jako částice jsou nedělitelné části hmoty (ty nejmenši samořejmě). V mikrosvětě je vše kvantované.

00

Odpovědět

no ja jsem na matiku uplne tupy a nikdy jsem ji nechapal ale od neho to nejakym zpusobem vzdycky chapu :D

210

Odpovědět

Dobrý video, ale trochu slabší oproti předchozím. Je to pouhej součet nekonečný geometrický řady s=a1/(1-q), kde q je kvocient, a musí být v abs. hodnotě menší než 1 (zde je 1/2), a a1 je prvni člen.
A vzpomněl jsem si na takovej matematickej vtípek - Vejde nekonečně mnoho matematiků do hospody. První si objedná 1 pivo, druhej 1/2 piva, třetí 1/4 piva atd. Hospodskej se nasere a natočí jim 2 piva... :)

190

Odpovědět

Pokud by vzdálenost dělil vždy na poloviny, tak by se nikdy nedotkly, ale tak to v realitě není. Stejně, jako s želvou.

194

Odpovědět

Toto su matematicke paradoxy ne realzivotne.

Delenie intervalu je velmi dolezita sucast matiky.

191

Odpovědět

no koukni na Vsauce videa (tusim o 3 seconds paradox) a zjistis ze se ve skutecnosti nedotykame niceho pokud by jsme se dotykali vznikla by jaderna fuze.. ;)

204

Odpovědět

Děkju za video. :)
A yes plase! Víc číslofilie! :)

192

Další
Používáme cookies, abychom mohli provozovat tuto internetovou stránku a zlepšit Vaši uživatelskou spokojenost. Budete-li pokračovat beze změny nastavení, předpokládáme, že souhlasíte s ukládáním souborů cookies z internetových stránek. Více informací o použití cookies.
OK